東京大学 学際情報学府 学際情報学専攻 生物統計情報学コース 2018年1月実施 専門科目 第1問

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• 东京大学
• 均值、中位数与四分位数
• 诊断检验的阳性预测值
• 置信区间
• 正态方差的卡方枢轴量
• 一元线性回归

Author

Miyake

Description

以下の問い(1-1)〜(1-20)に答えよ。解答用紙には問いの番号と解答のみを，問いの番号の順序に従って記載せよ。なお，別途配布した分布表は適宜参照してよい。

(1-1)

次の幹葉図から読み取れることとして正しいものを，以下のア〜オのうちから一つ選べ。

十の位	一の位
4	0
5	2 5
6	0 4 4 7
7	1 3 3 5 8
8	0 0 2 3 3 4 7
9	0 1 1 2 2 5

• ア. 最小値は45である。

• イ. 中央値は78である。

• ウ. 最大値は90である。

• エ. 範囲は95である。

• オ. 平均値は中央値よりも小さい。

(1-2)

次の二つの箱ひげ図A，Bを比較した記述として正しいものを，以下のア〜オのうちから一つ選べ。

• ア. 最大値はAの方が大きい。

• イ. 中央値は等しい。

• ウ. 第1四分位数は等しい。

• エ. 四分位範囲は等しい。

• オ. 最小値はBの方が小さい。

(1-3)

次の(a)〜(c)は，相関関係に関する記述である。適切な記述をすべて選んだ組合せを，以下のア〜オのうちから一つ選べ。

(a) 一方の変数の値が大きいとき，他方の変数の値も大きい傾向にあるとき，正の相関関係があるという。

(b) 相関係数の値を確認することで，2変数の関係を線形・非線形問わず把握することができる。

(c) 強い正の相関関係が観察された場合，一方の変数に介入することで他方の変数を制御することが必ずできる。

• ア. (a)

• イ. (b)

• ウ. (c)

• エ. (a), (b)

• オ. (a), (c)

(1-4)

次の(a)〜(c)は，母集団からのデータ抽出手法に関する記述である。適切な記述をすべて選んだ組合せを，以下のア〜オのうちから一つ選べ。

(a) 性別や職業などの基準によって母集団が層別されているとき，層ごとにランダムに抽出する手法をクラスター抽出法という。

(b) 系統抽出法では最初に母集団に通し番号を付与するが，その際には番号の付け方をランダムにする必要がある。

(c) 多段抽出法では，抽出単位を複数に分けて，段階的に抽出を行う。

• ア. (a)

• イ. (b)

• ウ. (c)

• エ. (a), (c)

• オ. (b), (c)

(1-5)

1から6までの六つの目が等確率で出るサイコロを二つ投げたとき，二つのサイコロの目が異なる確率はいくらか。次のア〜オのうちから正しいものを一つ選べ。

• ア. $\frac1{36}$

• イ. $\frac16$

• ウ. $\frac13$

• エ. $\frac23$

• オ. $\frac56$

(1-6)

男性6人と女性2人の被験者計8人を4人ずつの二つの群にランダムにわけたとき，一方の群がすべて男性である確率はいくらか。最も近い値を次のア〜オのうちから一つ選べ。

• ア. 0.2

• イ. 0.3

• ウ. 0.4

• エ. 0.5

• オ. 0.6

(1-7)

あるゲームに参加した100人の平均スコアは60点であった。さらに，スコアが70点の人の標準化得点は2.5であったことが知られている。スコアが40点であった人の標準化得点はいくらか。次のア〜オのうちから正しいものを一つ選べ。

• ア. −10

• イ. −5

• ウ. 0

• エ. 5

• オ. 10

(1-8)

昨年にある病院で生まれた新生児の身長について，平均は48cm，標準偏差は3cmであった。このデータに対する変動係数の値をCVとする。新生児それぞれの身長が4cmずつ高かった場合，変動係数の値はもとのCVの何倍になるか，次のア〜オのうちから正しいものを一つ選べ。

• ア. $\frac34$

• イ. $\frac{12}{13}$

• ウ. $1$

• エ. $\frac{13}{12}$

• オ. $\frac43$

(1-9)

あるアンケートの結果，次のクロス集計表が得られた。この表から計算したオッズ比が1であるとき，$n$ の値として正しいものを，以下のア〜オのうちから一つ選べ。

$$\begin{array}{|c|c|}\hline 40&50\\\hline 20&n\\\hline \end{array}$$

• ア. 10

• イ. 25

• ウ. 30

• エ. 55

• オ. 70

(1-10)

二つの事象 $A,B$ について次に示す(a)〜(c)の式を考える。任意の事象 $A,B$ に対して成立する式をすべて選んだ組合せを，以下のア〜オのうちから一つ選べ。

(a) $P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$

(b) $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

(c) $P(A\cap B)=P(A)P(B)$

• ア. (a)

• イ. (b)

• ウ. (c)

• エ. (a), (b)

• オ. (b), (c)

(1-11)

1から6までの六つの目が等確率で出る大小二つのサイコロがある。それぞれのサイコロを1回ずつ投げた結果について，次の $A,B,C$ という事象を考える。互いに独立な事象の対をすべて選んだ組合せを，以下のア〜オのうちから一つ選べ。

$A$: 大きいサイコロの目が4以上である。

$B$: 小さいサイコロの目が4以下である。

$C$: 二つのサイコロの目の積が偶数である。

• ア. $A$ と $B$

• イ. $A$ と $C$

• ウ. $B$ と $C$

• エ. $A$ と $B$，$A$ と $C$

• オ. $A$ と $B$，$B$ と $C$

(1-12)

ある疾患の有病確率が5%であったとする。ある血液検査では，この疾患を有している人の95%，有していない人の5%が陽性となる。ランダムに1名の対象者を選び，この血液検査を行ったところ，陽性となった。この対象者が疾患を有している確率はいくらか。最も近い値を次のア〜オのうちから一つ選べ。

• ア. 0.05

• イ. 0.10

• ウ. 0.45

• エ. 0.50

• オ. 0.95

(1-13)

確率変数 $X$ の確率密度関数が次のように与えられている：

$$f(x)=\begin{cases}e^{-x+1}&(x>1),\\0&(x\le1).\end{cases}$$

確率変数 $X$ の期待値として正しいものを，次のア〜オのうちから一つ選べ。

• ア. $1$

• イ. $2$

• ウ. $e$

• エ. $2e$

• オ. $\frac1e$

(1-14)

確率変数 $X_1,X_2$ がそれぞれ平均 $\lambda_1,\lambda_2$ のポアソン分布に独立に従うとする。確率変数 $X_1+X_2$ の従う確率分布の分散として正しいものを，次のア〜オのうちから一つ選べ。

• ア. $\lambda_1+\lambda_2$

• イ. $(\lambda_1+\lambda_2)^2$

• ウ. $\dfrac1{\lambda_1+\lambda_2}$

• エ. $\dfrac1{(\lambda_1+\lambda_2)^2}$

• オ. $\dfrac{\lambda_1\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}$

(1-15)

ある地域の中学生が一ヶ月に読む本の冊数が，平均7冊，標準偏差4冊の確率分布に従うとする。この地域から無作為に抽出された中学生100人について，一ヶ月に読む本の合計冊数が700以上720以下である確率はいくらか。最も近い値を次のア〜オのうちから一つ選べ。

• ア. 0.01

• イ. 0.10

• ウ. 0.20

• エ. 0.30

• オ. 0.45

(1-16)

分散既知の正規分布 $N(\mu,1)$ に対して，平均 $\mu$ の区間推定を考える。サンプルサイズを2倍に増やしたとき，信頼係数95%の信頼区間はどのように変化すると考えられるか。次のア〜オのうちから適切なものを一つ選べ。

• ア. 変化しない。

• イ. 信頼区間幅がおよそ $1/2$ 倍になる。

• ウ. 信頼区間幅がおよそ $1/\sqrt2$ 倍になる。

• エ. 信頼区間幅がおよそ $\sqrt2$ 倍になる。

• オ. 信頼区間幅がおよそ2倍になる。

(1-17)

確率変数 $X_1,\ldots,X_n$ が平均 $\mu$，分散 $\sigma^2$ の正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$ に独立に従うとする。このとき，$W=\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2/\sigma^2$ が従う確率分布として正しいものを，次のア〜オのうちから一つ選べ。ただし，$\bar X=\sum_{i=1}^nX_i/n$ である。

• ア. 標準正規分布

• イ. 自由度 $n-1$ の $t$ 分布

• ウ. 自由度 $n$ の $t$ 分布

• エ. 自由度 $n-1$ の $\chi^2$ 分布

• オ. 自由度 $n$ の $\chi^2$ 分布

(1-18)

次の(a)〜(c)は仮説検定に関する記述である。適切な記述をすべて選んだ組合せを，以下のア〜オのうちから一つ選べ。

(a) 第1種の過誤とは，帰無仮説が正しいにもかかわらず棄却してしまうことを意味する。

(b) 第2種の過誤確率は，第1種の過誤確率に依存しない。

(c) 帰無仮説が十分小さな有意水準のもとで棄却されなかった場合，帰無仮説が正しいことに対する有力な証拠が得られたことを意味する。

• ア. (a)

• イ. (b)

• ウ. (c)

• エ. (a), (c)

• オ. (b), (c)

(1-19)

ある地域の小学生10,000人の体重が，平均40kg，標準偏差8kgの正規分布に近似的に従うとする。この地域から10名の生徒を無作為抽出するとき，抽出された生徒の平均体重が35kg以下である確率はいくらか。最も近い値を次のア〜オのうちから一つ選べ。

• ア. 0.01

• イ. 0.02

• ウ. 0.10

• エ. 0.25

• オ. 0.35

(1-20)

$n$ 個のデータ $(x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n)$ から得られた回帰直線 $y=mx+3$ が，点 $(3,6)$ を通るとする。各変数の標本平均を $\bar x=\sum_{i=1}^nx_i/n$ および $\bar y=\sum_{i=1}^ny_i/n$ と表す。$\bar x$ を用いて $\bar y$ を表した式として正しいものを，次のア〜オのうちから一つ選べ。

• ア. $\bar x$

• イ. $\bar x-2$

• ウ. $\bar x-3$

• エ. $\bar x+3$

• オ. $3\bar x+3$

题目描述

回答以下(1-1)至(1-20)。答题纸上只须按题号顺序写出题号和答案。可按需要参阅另行发放的分布表。

(1-1)

从以下ア〜オ中选择能由下列茎叶图读出的正确结论。

十位	个位
4	0
5	2 5
6	0 4 4 7
7	1 3 3 5 8
8	0 0 2 3 3 4 7
9	0 1 1 2 2 5

• ア. 最小值为45。

• イ. 中位数为78。

• ウ. 最大值为90。

• エ. 极差为95。

• オ. 均值小于中位数。

(1-2)

比较下列两个箱线图A、B，从以下ア〜オ中选择正确叙述。

• ア. A的最大值较大。

• イ. 中位数相等。

• ウ. 第一四分位数相等。

• エ. 四分位距相等。

• オ. B的最小值较小。

(1-3)

以下(a)至(c)是关于相关关系的叙述。从ア〜オ中选择包含全部正确叙述的组合。

(a) 一个变量的值较大时，另一个变量的值也倾向于较大，这时称二者正相关。

(b) 通过查看相关系数的值，无论两个变量之间是线性还是非线性关系，都能掌握其关系。

(c) 观察到很强的正相关关系时，通过干预一个变量，一定能控制另一个变量。

• ア. (a)

• イ. (b)

• ウ. (c)

• エ. (a), (b)

• オ. (a), (c)

(1-4)

以下(a)至(c)是关于从总体中抽取数据的方法的叙述。从ア〜オ中选择包含全部正确叙述的组合。

(a) 当总体按性别、职业等标准分层时，从每层随机抽取的方法称为整群抽样。

(b) 系统抽样首先给总体编连续编号，此时必须随机分配编号。

(c) 多阶段抽样把抽样单位分为多个层级，分阶段进行抽样。

• ア. (a)

• イ. (b)

• ウ. (c)

• エ. (a), (c)

• オ. (b), (c)

(1-5)

掷两枚1至6各点数等概率出现的骰子，两枚骰子的点数不同的概率是多少？从下列ア〜オ中选择正确的一项。

• ア. $\frac1{36}$

• イ. $\frac16$

• ウ. $\frac13$

• エ. $\frac23$

• オ. $\frac56$

(1-6)

将6名男性和2名女性，共8名受试者随机分成每组4人的两组，其中一组全为男性的概率是多少？从下列ア〜オ中选择最接近的值。

• ア. 0.2

• イ. 0.3

• ウ. 0.4

• エ. 0.5

• オ. 0.6

(1-7)

参加某游戏的100人的平均分为60分。另已知得分70分者的标准化分数为2.5。得分40分者的标准化分数是多少？从下列ア〜オ中选择正确的一项。

• ア. −10

• イ. −5

• ウ. 0

• エ. 5

• オ. 10

(1-8)

去年某医院出生的新生儿身长的均值为48cm、标准差为3cm。将这组数据的变异系数记作CV。如果每名新生儿的身长均增加4cm，新的变异系数为原CV的多少倍？从下列ア〜オ中选择正确的一项。

• ア. $\frac34$

• イ. $\frac{12}{13}$

• ウ. $1$

• エ. $\frac{13}{12}$

• オ. $\frac43$

(1-9)

某项问卷调查得到如下交叉列联表。若由该表计算的优势比为1，从以下ア〜オ中选择正确的 $n$ 值。

$$\begin{array}{|c|c|}\hline 40&50\\\hline 20&n\\\hline \end{array}$$

• ア. 10

• イ. 25

• ウ. 30

• エ. 55

• オ. 70

(1-10)

考虑关于两个事件 $A,B$ 的下列(a)至(c)公式。从以下ア〜オ中选择包含对任意事件 $A,B$ 均成立的全部公式的组合。

(a) $P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$

(b) $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

(c) $P(A\cap B)=P(A)P(B)$

• ア. (a)

• イ. (b)

• ウ. (c)

• エ. (a), (b)

• オ. (b), (c)

(1-11)

有大小两枚骰子，1至6各点数均等概率出现。各掷一次，考虑以下事件 $A,B,C$。从以下ア〜オ中选择包含全部相互独立的事件对的组合。

$A$：大骰子点数至少为4。

$B$：小骰子点数不超过4。

$C$：两枚骰子点数的乘积为偶数。

• ア. $A$ 与 $B$

• イ. $A$ 与 $C$

• ウ. $B$ 与 $C$

• エ. $A$ 与 $B$、$A$ 与 $C$

• オ. $A$ 与 $B$、$B$ 与 $C$

(1-12)

假设某疾病的患病概率为5%。某血液检查会使95%的患者和5%的非患者得到阳性结果。随机选择1名受试者进行该检查，结果呈阳性。此人患该疾病的概率是多少？从下列ア〜オ中选择最接近的值。

• ア. 0.05

• イ. 0.10

• ウ. 0.45

• エ. 0.50

• オ. 0.95

(1-13)

随机变量 $X$ 的概率密度函数如下：

$$f(x)=\begin{cases}e^{-x+1}&(x>1),\\0&(x\le1).\end{cases}$$

从下列ア〜オ中选择随机变量 $X$ 的正确期望值。

• ア. $1$

• イ. $2$

• ウ. $e$

• エ. $2e$

• オ. $\frac1e$

(1-14)

假设随机变量 $X_1,X_2$ 相互独立，分别服从均值为 $\lambda_1,\lambda_2$ 的泊松分布。从下列ア〜オ中选择随机变量 $X_1+X_2$ 所服从分布的正确方差。

• ア. $\lambda_1+\lambda_2$

• イ. $(\lambda_1+\lambda_2)^2$

• ウ. $\dfrac1{\lambda_1+\lambda_2}$

• エ. $\dfrac1{(\lambda_1+\lambda_2)^2}$

• オ. $\dfrac{\lambda_1\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}$

(1-15)

假设某地区初中生每月阅读的书籍册数服从均值为7册、标准差为4册的概率分布。从该地区随机抽取100名初中生，他们每月阅读的总册数在700至720册之间（含端点）的概率是多少？从下列ア〜オ中选择最接近的值。

• ア. 0.01

• イ. 0.10

• ウ. 0.20

• エ. 0.30

• オ. 0.45

(1-16)

对于方差已知的正态分布 $N(\mu,1)$，考虑均值 $\mu$ 的区间估计。当样本量增加为2倍时，置信度为95%的置信区间将如何变化？从下列ア〜オ中选择适当的一项。

• ア. 不变。

• イ. 置信区间宽度约变为原来的 $1/2$。

• ウ. 置信区间宽度约变为原来的 $1/\sqrt2$。

• エ. 置信区间宽度约变为原来的 $\sqrt2$ 倍。

• オ. 置信区间宽度约变为原来的2倍。

(1-17)

假设随机变量 $X_1,\ldots,X_n$ 相互独立，均服从均值为 $\mu$、方差为 $\sigma^2$ 的正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$。从下列ア〜オ中选择 $W=\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2/\sigma^2$ 所服从的正确概率分布。其中 $\bar X=\sum_{i=1}^nX_i/n$。

• ア. 标准正态分布

• イ. 自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布

• ウ. 自由度为 $n$ 的 $t$ 分布

• エ. 自由度为 $n-1$ 的 $\chi^2$ 分布

• オ. 自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ 分布

(1-18)

以下(a)至(c)是关于假设检验的叙述。从ア〜オ中选择包含全部正确叙述的组合。

(a) 第一类错误是指原假设正确却被拒绝。

(b) 第二类错误概率不依赖于第一类错误概率。

(c) 在足够小的显著性水平下未拒绝原假设，意味着获得了支持原假设正确的有力证据。

• ア. (a)

• イ. (b)

• ウ. (c)

• エ. (a), (c)

• オ. (b), (c)

(1-19)

假设某地区10,000名小学生的体重近似服从均值为40kg、标准差为8kg的正态分布。从该地区随机抽取10名学生，样本平均体重不超过35kg的概率是多少？从下列ア〜オ中选择最接近的值。

• ア. 0.01

• イ. 0.02

• ウ. 0.10

• エ. 0.25

• オ. 0.35

(1-20)

假设由 $n$ 个数据点 $(x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n)$ 得到的回归直线 $y=mx+3$ 通过点 $(3,6)$。将两个变量的样本均值记为 $\bar x=\sum_{i=1}^nx_i/n$ 和 $\bar y=\sum_{i=1}^ny_i/n$。从下列ア〜オ中选择用 $\bar x$ 表示 $\bar y$ 的正确式子。

• ア. $\bar x$

• イ. $\bar x-2$

• ウ. $\bar x-3$

• エ. $\bar x+3$

• オ. $3\bar x+3$

Kai

(1-1)

オ. 平均値は中央値よりも小さい。

(1-2)

ウ. 第1四分位数は等しい。

(1-3)

ア. (a)

(1-4)

ウ. (c)

(1-5)

オ. 5/6

(1-6)

ウ. 0.4

(1-7)

イ. -5

(1-8)

イ. 12/13

なぜなら、$\frac{\frac{3}{52}}{\frac{3}{48}} = \frac{48}{52} = \frac{12}{13}$

(1-9)

イ. 25

(1-10)

ア. (a)

(1-11)

オ. AとB, BとC

(1-12)

エ. 0.50

なぜなら、疾患を $D$, 疾患でないことを $\bar{D}$,

検査の陽性を $+$, 陰性を $-$ とすると、

$$\begin{aligned} P(D) = \frac{5}{100} , \ \ P(+|D) = \frac{95}{100} , \ \ P(+|\bar{D}) = \frac{5}{100} \end{aligned}$$

であるから、ベイズの定理より、

$$\begin{aligned} P(D|+)&=\frac{P(D\cap+)}{P(+)}\\ &=\frac{P(+|D)P(D)}{P(+|D)P(D)+P(+|\bar D)P(\bar D)}\\ &=\frac{\frac{95}{100}\frac5{100}}{\frac{95}{100}\frac5{100}+\frac5{100}\frac{95}{100}}\\ &=\frac12. \end{aligned}$$

(1-13)

イ. 2

(1-14)

ア. $\lambda_1 + \lambda_2$

(1-15)

ウ. 0.20

(1-16)

ウ. 信頼区間幅がおよそ $1/\sqrt{2}$ 倍になる。

(1-17)

エ. 自由度n-1のカイ2乗分布

(1-18)

ア. (a)

(1-19)

イ. 0.02

(1-20)

エ. $\bar{x}+3$

なぜなら、 $m=1$ であるから、 $y=x+3$ よって $\bar{y}=\bar{x}+3$

Reference

• 東京大学大学院情報学環・学際情報学府 公式問題（PDF 2–7 ページ）