東京大学 学際情報学府 学際情報学専攻 総合分析情報学コース 2024年8月実施 専門科目 第2問

标签：

• Tokyo-University
• First-Order-Ordinary-Differential-Equation
• Initial-Value-Problem

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

日本語題意

超高層ビルの上から質量 $m$ の物体を水平方向に初速 $v_0$ で投げる。$x$ 軸を水平右向き、$y$ 軸を鉛直下向きとし、速度に比例する空気抵抗 $-k\boldsymbol v$ を受けるものとする。運動方程式は

$$m\frac{dv_x}{dt}=-kv_x,\qquad m\frac{dv_y}{dt}=mg-kv_y$$

である。初期条件 $v_x(0)=v_0$, $v_y(0)=0$, $x(0)=0$ の下で、$v_x(t)$、$x(t)$ を求め、$v_y(t)$ の時間変化を示せ。

题目描述

从高楼顶部将质量为 $m$ 的物体以初速度 $v_0$ 水平抛出。取水平向右为 $x$ 轴正向、竖直向下为 $y$ 轴正向，空气阻力为 $-k\boldsymbol v$。在

$$m\frac{dv_x}{dt}=-kv_x,\qquad m\frac{dv_y}{dt}=mg-kv_y$$

及初始条件 $v_x(0)=v_0$、$v_y(0)=0$、$x(0)=0$ 下，求水平速度、水平位移，并说明竖直速度随时间的变化。

Kai

(1)

$$\frac{dv_x}{v_x}=-\frac{k}{m}\,dt.$$

$v_x(0)=v_0$ より、

$$\boxed{v_x(t)=v_0e^{-kt/m}}.$$

(2)

$$\begin{aligned} x(t) &=\int_0^t v_0e^{-ks/m}\,ds\\ &=\boxed{\frac{mv_0}{k}\left(1-e^{-kt/m}\right)}. \end{aligned}$$

(3)

$$\frac{dv_y}{dt}+\frac{k}{m}v_y=g.$$

$v_y(0)=0$ より、

$$\boxed{v_y(t)=\frac{mg}{k}\left(1-e^{-kt/m}\right)}.$$

したがって $v_y(t)$ は $0$ から単調に増加し、

$$\lim_{t\to\infty}v_y(t)=\frac{mg}{k}$$

となる。

Reference

• 東京大学大学院 情報学環・学際情報学府 修士課程 過去の入学試験問題
• 2025年度 専門科目（総合分析情報学コース）公式問題 PDF