東京大学 学際情報学府 学際情報学専攻 総合分析情報学コース 2024年8月実施 専門科目 第1問

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• Tokyo-University
• Binomial-Coefficient

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

日本語題意

通常のトランプ一組から同時に5枚を選ぶ。AからKまでをそれぞれ $1,2,\ldots,13$ とみなし、次の条件を満たす手札の数を求めよ。

1. 5枚の数字が連続する。
2. 異なる2数字がそれぞれ2枚ずつ、さらに別の数字が1枚ある。
3. 5枚の数字の和が10以下である。
4. 5枚の数字の積が125の倍数である。

题目描述

从一副标准扑克牌中同时选取5张，将 A 至 K 依次视为数字 $1,2,\ldots,13$。分别计算满足下列条件的手牌数：五个数字连续；牌型为两对加一张不同点数的单牌；数字之和不超过10；数字之积为125的倍数。

Kai

(1)

連続する数字列は

$$(1,2,3,4,5),\ldots,(9,10,11,12,13)$$

の9通りであり、各数字についてスートを4通り選べる。よって、

$$\boxed{9\cdot4^5=9216}.$$

(2)

対になる2数字、そのスート、残りの数字とスートを順に選ぶと、

$$\boxed{ \binom{13}{2}\binom{4}{2}^2\cdot11\cdot4 =123552 }.$$

(3)

数字の多重集合を列挙する。同一数字が $r$ 枚ならスートの選び方は $\binom4r$ 通りである。和が10以下となる型を重み別にまとめると、

$$\begin{array}{c|c|c} \text{1型当たりの手札数}&\text{数字多重集合の個数}&\text{小計}\\ \hline 4&6&24\\ 24&3&72\\ 64&5&320\\ 144&3&432 \end{array}$$

したがって、

$$\boxed{24+72+320+432=848}.$$

(4)

125の倍数となるには、数字5または10のカードを少なくとも3枚含めればよい。このようなカードは8枚、その他は44枚なので、

$$\begin{aligned} N &=\binom83\binom{44}{2} +\binom84\binom{44}{1} +\binom85\\ &=\boxed{56112}. \end{aligned}$$

Reference

• 東京大学大学院 情報学環・学際情報学府 修士課程 過去の入学試験問題
• 2025年度 専門科目（総合分析情報学コース）公式問題 PDF