東京都立大学理学研究科数理科学専攻 2022年8月実施夏季数学II 問題5

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

$xyz$ 空間の曲線 $C_1,C_2,C_3$ を

\begin{aligned} C_1&:[0,1]\ni t\mapsto(t,0,0)\in\mathbb{R}^3,\\ C_2&:[0,1]\ni t\mapsto(1,t,0)\in\mathbb{R}^3,\\ C_3&:[0,1]\ni t\mapsto(1-t,1-t,0)\in\mathbb{R}^3 \end{aligned}

で定める。 $C_1,C_2,C_3$ に上記のパラメータ付けによる自然な向きを入れ，それらをつなげた曲線を

C=C_1+C_2+C_3

とおく。 $\mathbb{R}^3$ 上のベクトル場 $\boldsymbol F$ を

\boldsymbol F(x,y,z)=\begin{pmatrix}\sinh x\sin y+y^2\\\cosh x\cos y+x^3\\0\end{pmatrix}

で定める。以下の問いに答えよ。

(1) 回転 $\operatorname{rot}\boldsymbol F$ を求めよ。

(2) 線積分 $\displaystyle\int_C\boldsymbol F\cdot d\boldsymbol r$ の値を求めよ。

在 $xyz$ 空间中定义曲线 $C_1,C_2,C_3$ ：

\begin{aligned} C_1&:[0,1]\ni t\mapsto(t,0,0)\in\mathbb{R}^3,\\ C_2&:[0,1]\ni t\mapsto(1,t,0)\in\mathbb{R}^3,\\ C_3&:[0,1]\ni t\mapsto(1-t,1-t,0)\in\mathbb{R}^3. \end{aligned}

赋予三条曲线由上述参数化确定的自然方向，并将依次连接后的曲线记为 $C=C_1+C_2+C_3$ 。在 $\mathbb{R}^3$ 上定义向量场

\boldsymbol F(x,y,z)=\begin{pmatrix}\sinh x\sin y+y^2\\\cosh x\cos y+x^3\\0\end{pmatrix}.

回答以下问题。

(1) 求旋度 $\operatorname{rot}\boldsymbol F$ 。

(2) 求曲线积分 $\displaystyle\int_C\boldsymbol F\cdot d\boldsymbol r$ 的值。

$F_1,F_2$ は $z$ に依存せず、 $F_3=0$ である。したがって

\begin{gathered} \operatorname{rot}\boldsymbol F =\begin{pmatrix}0\\0\\\partial_xF_2-\partial_yF_1\end{pmatrix}\\ =\boxed{\begin{pmatrix}0\\0\\3x^2-2y\end{pmatrix}}. \end{gathered}

曲線は $(0,0)\to(1,0)\to(1,1)\to(0,0)$ と進む。 $+z$ 側から見ると反時計回りなので、対応する面の法線は $+\boldsymbol e_z$ である。

三角形 $D=\{(x,y)\mid0\le y\le x\le1\}$ にストークスの定理を適用すると

\begin{aligned} \int_C\boldsymbol F\cdot d\boldsymbol r &=\int_0^1\int_0^x(3x^2-2y)\,dy\,dx\\ &=\int_0^1(3x^3-x^2)\,dx =\frac34-\frac13 =\boxed{\frac5{12}}. \end{aligned}