東京都立大学 理学研究科 数理科学専攻 2023年度 夏季 数学II 問題5

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• 东京都立大学
• 梯度、散度与旋度
• 斯托克斯定理

Author

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

$\mathbb R^3$ 内の曲線を

$$\begin{aligned} C_1&:[0,1]\ni t\mapsto(t,0,0),\\ C_2&:[0,1]\ni t\mapsto(1,t,0),\\ C_3&:[0,1]\ni t\mapsto(1-t,1-t,0) \end{aligned}$$

とし、各パラメータの増加する向きを入れた閉曲線 $C=C_1+C_2+C_3$ を考える。ベクトル場を

$$\boldsymbol F(x,y,z)=\begin{pmatrix}\sinh x\sin y+y^2\\\cosh x\cos y+x^3\\0\end{pmatrix}$$

と定める。

(1) $\operatorname{rot}\boldsymbol F$ を求めよ。

(2) 線積分 $\int_C\boldsymbol F\cdot d\boldsymbol r$ を求めよ。

题目描述

曲线 $C_1,C_2,C_3$ 依次为 $(t,0,0),(1,t,0),(1-t,1-t,0)$，参数均为 $0\le t\le1$，方向随 $t$ 增大。令 $C=C_1+C_2+C_3$，向量场为 $\boldsymbol F=(\sinh x\sin y+y^2,\cosh x\cos y+x^3,0)^{\mathsf T}$。

(1) 求旋度；(2) 求沿 $C$ 的线积分。

Kai

(1)

$F_1,F_2$ は $z$ に依存せず、$F_3=0$ である。したがって

$$\operatorname{rot}\boldsymbol F =\begin{pmatrix}0\\0\\\partial_xF_2-\partial_yF_1\end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix}0\\0\\3x^2-2y\end{pmatrix}}.$$

(2)

曲線は $(0,0)\to(1,0)\to(1,1)\to(0,0)$ と進む。$+z$ 側から見ると反時計回りなので、対応する面の法線は $+\boldsymbol e_z$ である。

三角形 $D=\{(x,y)\mid0\le y\le x\le1\}$ にストークスの定理を適用すると

$$\begin{aligned} \int_C\boldsymbol F\cdot d\boldsymbol r &=\int_0^1\int_0^x(3x^2-2y)\,dy\,dx\\ &=\int_0^1(3x^3-x^2)\,dx =\frac34-\frac13 =\boxed{\frac5{12}}. \end{aligned}$$

Reference

• 東京都立大学公式問題（PDF 7頁）
• Miyake：参考解答