東京都立大学 経営学研究科 経営学専攻 経営学プログラム 2023年度 9月入試 数学 問4

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• 东京都立大学
• 期望与方差

Author

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

独立な確率変数 $X_1,X_2$ は共通の累積分布関数

$$F(x)=\begin{cases}0&x<0,\\x^7&0\le x<1,\\1&x\ge1\end{cases}$$

を持つ。$Y=X_1+5X_2^3,\ Z=2X_1Y$ とする。

(1) $X_1$ の期待値、(2) $Y$ の期待値、(3) $Z$ の期待値を求めよ。

题目描述

独立同分布的随机变量 $X_1,X_2$ 的累积分布函数为：$x<0$ 时为 $0$，$0\le x<1$ 时为 $x^7$，$x\ge1$ 时为 $1$。定义 $Y=X_1+5X_2^3,\ Z=2X_1Y$。依次求 $X_1,Y,Z$ 的期望。

Kai

密度関数は $0<x<1$ で $f(x)=7x^6$、それ以外で $0$。したがって $r\ge0$ について

$$\mathbb E[X_i^r]=7\int_0^1x^{r+6}\,dx=\frac7{r+7}.$$

(1)

$$\boxed{\mathbb E[X_1]=\frac78}.$$

(2)

期待値の線形性より

$$\boxed{\mathbb E[Y]=\frac78+5\frac7{10}=\frac{35}{8}}.$$

(3)

$Z=2X_1^2+10X_1X_2^3$ と独立性から

$$\boxed{\mathbb E[Z]=2\frac79+10\frac78\frac7{10}=\frac{553}{72}}.$$

Reference

• 東京都立大学公式問題（PDF 10頁）
• Miyake：参考解答