東京都立大学経営学研究科経営学専攻経営学プログラム 2022年9月実施 9月入試数学問4

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

以下の問題すべてに答えなさい。導出過程も記載しなさい。

$X_1$ と $X_2$ を独立な確率変数とする。 $X_1$ と $X_2$ の累積分布関数は同一とし，次の通りとする。

F(x)=\begin{cases}0,&x<0,\\x^7,&0\leq x<1,\\1,&1\leq x.\end{cases}

また，確率変数 $Y$ と $Z$ を $Y=X_1+5X_2^3$ ， $Z=2X_1Y$ と定義する。

(1) $X_1$ の期待値を求めなさい。

(2) $Y$ の期待値を求めなさい。

(3) $Z$ の期待値を求めなさい。

回答以下所有问题，并写出推导过程。

设 $X_1$ 与 $X_2$ 为独立随机变量，两者具有相同的累积分布函数：

F(x)=\begin{cases}0,&x<0,\\x^7,&0\leq x<1,\\1,&1\leq x.\end{cases}

另外，定义随机变量 $Y=X_1+5X_2^3$ 、 $Z=2X_1Y$ 。

(1) 求 $X_1$ 的期望。

(2) 求 $Y$ 的期望。

(3) 求 $Z$ 的期望。

密度関数は $0<x<1$ で $f(x)=7x^6$ 、それ以外で $0$ 。したがって $r\ge0$ について

\mathbb E[X_i^r]=7\int_0^1x^{r+6}\,dx=\frac7{r+7}.

\boxed{\mathbb E[X_1]=\frac78}.

期待値の線形性より

\boxed{\mathbb E[Y]=\frac78+5\frac7{10}=\frac{35}{8}}.

$Z=2X_1^2+10X_1X_2^3$ と独立性から

\boxed{\mathbb E[Z]=2\frac79+10\frac78\frac7{10}=\frac{553}{72}}.