東京都立大学経営学研究科経営学専攻経営学プログラム 2023年度 9月入試数学問3

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

関数 $f(x)=\min\{2x,x+1\}$ が凹関数であることを証明せよ。

证明 $f(x)=\min\{2x,x+1\}$ 是凹函数。

$\ell_1(x)=2x,\ \ell_2(x)=x+1$ とおく。任意の $x,y\in\mathbb R$ 、 $t\in[0,1]$ に対して、各 $i=1,2$ について

\begin{aligned} \ell_i((1-t)x+ty) &=(1-t)\ell_i(x)+t\ell_i(y)\\ &\ge(1-t)\min_j\ell_j(x)+t\min_j\ell_j(y)\\ &=(1-t)f(x)+tf(y). \end{aligned}

左辺の $i$ に関する最小値を取れば

\boxed{f((1-t)x+ty)\ge(1-t)f(x)+tf(y)}.

これは凹関数の定義そのものである。