東京都立大学経営学研究科経営学専攻経営学プログラム 2023年度 9月入試数学問2

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

関数 $f(x)=x/(x^2+3)$ の最大値と、最大化点まわりでの2次の項までのテーラー展開を求めよ。

求 $f(x)=x/(x^2+3)$ 的最大值，以及在最大值点附近的二阶泰勒展开。

導関数は

f'(x)=\frac{3-x^2}{(x^2+3)^2}.

$f$ は $(-\infty,-\sqrt3)$ で減少、 $(-\sqrt3,\sqrt3)$ で増加、 $(\sqrt3,\infty)$ で減少する。さらに $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$ なので

\boxed{\max_{x\in\mathbb R}f(x)=f(\sqrt3)=\frac1{2\sqrt3}}.

$f'(\sqrt3)=0$ および

f''(x)=\frac{2x(x^2-9)}{(x^2+3)^3},\qquad f''(\sqrt3)=-\frac1{6\sqrt3}

から

\boxed{f(x)=\frac1{2\sqrt3}-\frac{(x-\sqrt3)^2}{12\sqrt3} +O((x-\sqrt3)^3)}.