東京都立大学経営学研究科経営学専攻経営学プログラム 2022年9月実施 9月入試数学問2

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

以下の問題すべてに答えなさい。導出過程も記載しなさい。

次の関数の最大値と最大化点まわりでの 2 次の項までのテーラー展開を求めなさい。

f(x)=\frac{x}{x^2+3}

回答以下所有问题，并写出推导过程。

求以下函数的最大值，以及在最大值点处展开到二次项的泰勒展开：

f(x)=\frac{x}{x^2+3}.

導関数は

f'(x)=\frac{3-x^2}{(x^2+3)^2}.

$f$ は $(-\infty,-\sqrt3)$ で減少、 $(-\sqrt3,\sqrt3)$ で増加、 $(\sqrt3,\infty)$ で減少する。さらに $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$ なので

\boxed{\max_{x\in\mathbb R}f(x)=f(\sqrt3)=\frac1{2\sqrt3}}.

$f'(\sqrt3)=0$ および

\begin{gathered} f''(x)=\frac{2x(x^2-9)}{(x^2+3)^3},\\ f''(\sqrt3)=-\frac1{6\sqrt3} \end{gathered}

から

\boxed{f(x)=\frac1{2\sqrt3}-\frac{(x-\sqrt3)^2}{12\sqrt3} +O((x-\sqrt3)^3)}.