東北大学 理学研究科 物理学専攻 2025年度 問題1（基礎数学）

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

[1]

$$A=\frac12\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}$$

とする。

1. 固有値 $\lambda_1<\lambda_2$ と、それぞれに属する大きさ 1 の固有ベクトル $v_1,v_2$ を求めよ。ただし第 1 成分を正の実数とせよ。
2. $A=U\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2)U^{-1}$ を満たすユニタリ行列 $U$ を一つ示せ。
3. $\exp(i\pi A)$ を具体的に求めよ。

[2]

$z=e^{i\theta}$ とおき、次の積分を複素積分に書き換えて求めよ。

$$I=\int_0^{2\pi}\frac{\cos\theta}{13+5\cos\theta}\,d\theta.$$

[3]

$$V(x,y,z)=-\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$$

とする。

1. $\nabla V$ を求めよ。

2. $z$ 軸を中心とする半径 $a$ の無限円筒の側面 $S$ について、外向き単位法線を $\boldsymbol n$ として

   $$I=\int_S\nabla V\cdot\boldsymbol n\,dS$$

   を直接計算せよ。

[4]

周期 $2\pi$ の関数

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{m=1}^{\infty}a_m\cos(mx)$$

を考える。

1. $m,n\ge1$ に対して $\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)\cos(nx)\,dx$ を求めよ。
2. $I=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)^2\,dx$ を $a_0,a_m$ で表せ。
3. $f(x)=x^2$（$-\pi\le x<\pi$）として、$\sum_{m=1}^{\infty}m^{-4}$ を求めよ。

Kai

[1]

1)

$$\det(A-\lambda I)=(\lambda-1)(\lambda-2),$$

したがって

$$\lambda_1=1, \quad v_1=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}, \qquad \lambda_2=2, \quad v_2=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}.$$

2)

$$U=(v_1,v_2)=\frac1{\sqrt2} \begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}.$$

3)

$$\begin{aligned} e^{i\pi A} &=U\begin{pmatrix}e^{i\pi}&0\\0&e^{2i\pi}\end{pmatrix}U^{-1}\\ &=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}. \end{aligned}$$

[2]

$|z|=1$ を反時計回りの積分路 $C$ とすると、

$$I=-i\oint_C\frac{z^2+1}{z(5z+1)(z+5)}\,dz.$$

$C$ 内の極は $0,-1/5$ で、留数の和は

$$-\frac{i}{5}+\frac{13i}{60}=\frac{i}{60}.$$

よって

$$I=2\pi i\frac{i}{60}=-\frac{\pi}{30}.$$

[3]

1)

$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ とおけば

$$\nabla V=\frac{(x,y,z)}{r^3}.$$

2)

$S$ を $(a\cos\varphi,a\sin\varphi,z)$ で表すと、

$$\boldsymbol n=(\cos\varphi,\sin\varphi,0), \qquad dS=a\,d\varphi\,dz.$$

したがって

$$\begin{aligned} I &=\int_{-\infty}^{\infty}\int_0^{2\pi} \frac{a^2}{(a^2+z^2)^{3/2}}\,d\varphi\,dz\\ &=4\pi. \end{aligned}$$

[4]

1)

直交性より

$$\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)\cos(nx)\,dx =\begin{cases} \pi,&m=n,\\ 0,&m\ne n. \end{cases}$$

2)

$$I=\frac{a_0^2}{2}+\sum_{m=1}^{\infty}a_m^2.$$

3)

$f(x)=x^2$ の余弦係数は

$$a_0=\frac{2\pi^2}{3}, \qquad a_m=\frac{4(-1)^m}{m^2}.$$

Parseval の等式より

$$\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x^4\,dx =\frac12\left(\frac{2\pi^2}{3}\right)^2 +16\sum_{m=1}^{\infty}\frac1{m^4}.$$

ゆえに

$$\sum_{m=1}^{\infty}\frac1{m^4}=\frac{\pi^4}{90}.$$

Reference

• 東北大学 物理学専攻 令和7年度入学試験問題
• Miyake：問題1 [1]
• Miyake：問題1 [2]
• Miyake：問題1 [3]
• Miyake：問題1 [4]