東北大学 理学研究科 物理学専攻 2018年8月実施 問題5（熱・統計力学）

标签：

• Tohoku-University
• Ideal-Gas-Entropy-of-Mixing
• Chemical-Equilibrium-and-Vant-Hoff-Relation

Author

Miyake

Description

题目描述

原文的题目描述及解答均缺失，当前文件无法还原具体题目。

考点

• 资料缺失：现有文件未保留可用于判断本题知识点的题干、公式或解答。

Kai

[1]

1)

a)

単原子分子の理想気体なので、内部エネルギーを $U$ として、

$$\begin{align} U = \frac{3}{2} n R T , \ \ \ \ PV=nRT \end{align}$$

が成り立つ。

また、熱力学第1,2法則より、

$$\begin{align} dU = T dS - P dV \end{align}$$

が成り立つ。

よって、

$$\begin{align} dS &= \frac{1}{T} dU + \frac{P}{T} dV \\ &= \frac{3}{2} nR \frac{dT}{T} + nR \frac{dV}{V} \end{align}$$

が成り立つ。

b)

$$\begin{align} S(T,V) &= S(T_0, V_0) + \frac{3}{2} nR \int_{T_0}^T \frac{dT}{T} + nR \int_{V_0}^V \frac{dV}{V} \\ &= S(T_0, V_0) + \frac{3}{2} nR \ln \frac{T}{T_0} + nR \ln \frac{V}{V_0} \\ &= S(T_0, V_0) + nR \ln \left[ \left( \frac{T}{T_0} \right)^\frac{3}{2} \left( \frac{V}{V_0} \right) \right] \end{align}$$

c)

混合前の状態方程式は、

$$\begin{align} P V_1 = n_1 R T , \ \ P V_2 = n_2 R T \end{align}$$

であり、混合後の状態方程式は、

$$\begin{align} P (V_1 + V_2) = (n_1 + n_2) R T \end{align}$$

である。 $n_1$ モルの理想気体のエントロピー変化は、

$$\begin{align} n_1 R \ln \left[ \left( \frac{T}{T} \right)^\frac{3}{2} \left( \frac{V_1+V_2}{V_1} \right) \right] = n_1 R \ln \frac{(n_1+n_2)RT/P}{n_1RT/P} = n_1 R \ln \frac{n_1+n_2}{n_1} \end{align}$$

であり、同様に、 $n_2$ モルの理想気体のエントロピー変化は、

$$\begin{align} n_2 R \ln \frac{n_1+n_2}{n_2} \end{align}$$

である。 よって、

$$\begin{align} \Delta S = n_1 R \ln \frac{n_1+n_2}{n_1} + n_2 R \ln \frac{n_1+n_2}{n_2} \end{align}$$

を得る。

2)

a)

$$\begin{align} \mu_A + \mu_B = \mu_C \end{align}$$

b)

$$\begin{align} \mu_{A0} + k_B T \ln \frac{P_A}{P_0} + \mu_{B0} + k_B T \ln \frac{P_B}{P_0} = \mu_{C0} + k_B T \ln \frac{P_C}{P_0} \end{align}$$

を整理して、

$$\begin{align} k_B T \ln \frac{P_C P_0}{P_A P_B} &= \mu_{A0} + \mu_{B0} - \mu_{C0} \\ k_B T \ln K_P &= - \Delta \mu_0 \\ \therefore \ \ K_P &= \exp \left( - \frac{\Delta \mu_0}{k_B T} \right) \end{align}$$

c)

定数 $a (\gt 0), b$ を使って

$$\begin{align} \ln K_P = a \frac{1}{T} + b \end{align}$$

と書けるとき、

$$\begin{align} \frac{\partial}{\partial T} \ln K_P = - \frac{a}{T^2} \end{align}$$

となるので、与えられた式(7)より、

$$\begin{align} \Delta H_0 = - Ra \lt 0 \end{align}$$

を得る。

[2]