東北大学 理学研究科 物理学専攻 2018年8月実施 問題4（量子力学）

Author

Miyake

Description

Kai

[1]

1)

であるから、

よって、

また、 であるから、

よって、 は、正の整数 を使って、

と書かれる。 よって、固有状態の波動関数は、

である。

波動関数の規格化条件から を求める：

よって、 とすればよく、

を得る。

最後に、エネルギー固有値 を求めるため、次のように計算する：

よって、

を得る。

2)

3)

したがって、 は と の重ね合わせで表された。

次に、 の規格化条件から を求める：

よって、 とすればよく、

を得る。

最後に、 に存在する確率は、それぞれ、

である。

4)

におけるエネルギー期待値は、次のように計算できる：

[2]

1)

2)

固有値方程式

に を代入して整理すると、

となるので、 成分がそれぞれ独立に 質量 , 角振動数 の 1次元調和振動子とみなせることがわかる。

したがって、このハミルトニアン の基底状態の空間部分の波動関数は

であり、第1励起状態の空間部分の波動関数は

である。

3)

であるから、

である。

4)

考えている2粒子は同種フェルミ粒子であるから、 粒子の入れ替えに対して波動関数の符号が変わる。 基底状態の波動関数の空間部分は で 符号が変わらないので、 これと組み合わせられるスピン部分は、 である。 つまり、基底状態の波動関数は、

である。

5)

第1励起状態の波動関数の空間部分は であり、 これと組み合わせられるスピン部分は である。 これらのすべての組み合わせが第1励起状態なので、 縮退度は である。

6)

a)

b)

a) と同様にして、

である。 よって、

よって、求めるエネルギー変化は、

である。