東北大学 理学研究科 物理学専攻 2018年8月実施 問題3（電磁気学）

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• 电势与电场
• 毕奥–萨伐尔定律
• 矩形谐振腔的本征模
• 偏微分方程的分离变量法

Author

Miyake

Description

[1]と[2]は別々の解答用紙に解答せよ．

[1]

太さの無視できる絶縁物質で作られた半径 $a$ の円環上に，電荷を線密度 $\rho\ (\rho>0)$ で一様に分布させた．図のように，中心を原点 O に一致させるように $xy$ 平面上にこの円環を置いた．真空の誘電率，透磁率はそれぞれ $\varepsilon_0,\mu_0$ とし，以下の問いに答えよ．

1. 円環の任意の位置 A に長さ $dl$ の微小区間を考える．この微小区間の電荷が $z$ 軸上の任意の点 P（座標 $(0,0,z)$）に作る電場の大きさを求めよ．

2. 問1)の位置 A の微小区間と原点 O をはさんで向かい合う位置 B にある同じ長さ $dl$ の微小区間を考える．A および B の両方の微小区間の電荷による点 P での重ね合わせた電場の大きさを求めよ．$z$ が正負のそれぞれの場合について，その向きも述べよ．

3. 円環全体の電荷が，点 P に作る電場 $\boldsymbol E$ を求めよ．

4. この円環が，$z$ 軸上に作る電場の $z$ 成分 $(E_z)$ の概形を $z$ の関数として解答用紙の所定の場所に図示せよ．ただし，簡単のためここでは $a=1,\rho=1,\varepsilon_0=1$ とする．

5. この円環を $z$ 軸の周りに一定の角速度 $\omega\ (\omega>0)$ で回転させた．その回転は，$z$ 軸の正の方向に進む右ねじの回転と同じ向きとする．点 P に生じる磁束密度 $\boldsymbol B$ を求めよ．

[2]

図のような完全導体で囲まれた直方体 $(a>b)$ の空洞共振器を考える．空洞内では，以下のマクスウェル方程式が成立する．

$$\nabla\cdot\boldsymbol E=0\tag{1}$$

$$\nabla\cdot\boldsymbol B=0\tag{2}$$

$$\nabla\times\boldsymbol E=-\frac{\partial\boldsymbol B}{\partial t}\tag{3}$$

$$\nabla\times\boldsymbol B=\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial\boldsymbol E}{\partial t}\tag{4}$$

ここで，$\boldsymbol E$ は電場，$\boldsymbol B$ は磁束密度，$\varepsilon_0,\mu_0$ はそれぞれ真空の誘電率，透磁率とする．

電場 $\boldsymbol E=(E_x,E_y,E_z)$ は $z$ 成分のみを持ち $(E_x=E_y=0)$，$E_z$ が $x,y,z,t$ の関数の積 $E_z=X(x)Y(y)Z(z)\sin\omega t$ で与えられるとして，以下の問いに答えよ．ただし，$\omega$ は角振動数とする．

1. 式(1)を用いて，$Z(z)$ が $z$ に依存しない定数であることを示せ．

2. マクスウェル方程式より電場 $\boldsymbol E$ は波動方程式

$$\nabla^2\boldsymbol E=\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\boldsymbol E}{\partial t^2}\tag{5}$$

に従う．このとき，以下の微分方程式が成立することを示せ．

$$\frac1X\frac{d^2X}{dx^2}+\frac1Y\frac{d^2Y}{dy^2}=-\varepsilon_0\mu_0\omega^2\tag{6}$$

3. 式(6)が空洞内のあらゆる $x,y$ に対して成立するとき，左辺の各項は定数とおける．各項を $-k_x^2,-k_y^2$（$k_x,k_y$ は実数）とおき，$X,Y$ の一般解を求めよ．

4. 導体表面では接線方向の電場が0であることを用い，$E_z$ が以下の式で表せることを示せ（$E_{z0}$ は定数）．

$$E_z=E_{z0}\sin k_xx\sin k_yy\sin\omega t\tag{7}$$

このとき，$k_x,k_y$ の取りうる値を求めよ．

5. 問4)の結果を用いて，空洞内において共振できる最小の角振動数 $\omega_0$ を求めよ．

6. 問5)で求めた角振動数 $\omega_0$ のときの磁束密度 $\boldsymbol B$ を求めよ．

题目描述

[1]和[2]须分别在不同的答题纸上作答。

[1] 在由可忽略粗细的绝缘材料制成、半径为 $a$ 的圆环上，以线密度 $\rho\ (\rho>0)$ 均匀分布电荷。如上方圆环图所示，将圆环置于 $xy$ 平面内，中心与原点 O 重合。真空介电常数和磁导率分别为 $\varepsilon_0,\mu_0$。回答下列问题。

1. 在圆环任意位置 A 处取长度为 $dl$ 的微小区间，求其电荷在 $z$ 轴上任意点 P（坐标 $(0,0,z)$）产生的电场大小。

2. 考虑与问1)中的微小区间 A 隔着原点 O 正对、位于 B 处的同样长度 $dl$ 的微小区间。求 A、B 两个微小区间的电荷在 P 点产生的合电场的大小，并分别说明 $z$ 为正、负时的方向。

3. 求整个圆环的电荷在 P 点产生的电场 $\boldsymbol E$。

4. 在答题纸指定位置，以 $z$ 为自变量，画出圆环在 $z$ 轴上产生的电场 $z$ 分量 $E_z$ 的大致图像。为简便起见，此问取 $a=1,\rho=1,\varepsilon_0=1$。

5. 使圆环以恒定角速度 $\omega\ (\omega>0)$ 绕 $z$ 轴旋转。旋转方向与沿 $z$ 轴正方向前进的右旋螺钉的旋转方向相同。求 P 点的磁感应强度 $\boldsymbol B$。

[2] 考虑上方空腔图所示、由完全导体包围的长方体 $(a>b)$ 谐振腔。空腔内满足以下麦克斯韦方程：

$$\begin{aligned} \nabla\cdot\boldsymbol E&=0,&&\text{(1)}\\ \nabla\cdot\boldsymbol B&=0,&&\text{(2)}\\ \nabla\times\boldsymbol E&=-\frac{\partial\boldsymbol B}{\partial t},&&\text{(3)}\\ \nabla\times\boldsymbol B&=\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial\boldsymbol E}{\partial t}.&&\text{(4)} \end{aligned}$$

其中 $\boldsymbol E$ 为电场，$\boldsymbol B$ 为磁感应强度，$\varepsilon_0,\mu_0$ 分别为真空介电常数和磁导率。

设电场 $\boldsymbol E=(E_x,E_y,E_z)$ 仅有 $z$ 分量 $(E_x=E_y=0)$，且 $E_z$ 由 $x,y,z,t$ 的函数的乘积 $E_z=X(x)Y(y)Z(z)\sin\omega t$ 给出，其中 $\omega$ 为角频率。回答下列问题。

1. 利用式(1)证明 $Z(z)$ 是不依赖于 $z$ 的常数。

2. 由麦克斯韦方程可知，电场 $\boldsymbol E$ 满足波动方程

$$\nabla^2\boldsymbol E=\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\boldsymbol E}{\partial t^2}.\qquad\text{(5)}$$

在此情况下，证明成立微分方程

$$\frac1X\frac{d^2X}{dx^2}+\frac1Y\frac{d^2Y}{dy^2}=-\varepsilon_0\mu_0\omega^2.\qquad\text{(6)}$$

3. 式(6)对空腔内所有 $x,y$ 成立时，左侧各项可设为常数。分别令它们为 $-k_x^2,-k_y^2$（$k_x,k_y$ 为实数），求 $X,Y$ 的通解。

4. 利用导体表面切向电场为0，证明 $E_z$ 可以写成下式，其中 $E_{z0}$ 为常数，并求 $k_x,k_y$ 的可能取值。

$$E_z=E_{z0}\sin k_xx\sin k_yy\sin\omega t.\qquad\text{(7)}$$

5. 利用问4)的结果，求空腔内能够共振的最小角频率 $\omega_0$。

6. 求问5)所得角频率 $\omega_0$ 对应的磁感应强度 $\boldsymbol B$。

Kai

[1]

1)

微小区間にある電荷は $\rho dl$ で、APの長さは $\sqrt{a^2+z^2}$ であるから、

求める電場の大きさは

$$\begin{aligned} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\rho dl}{a^2+z^2} \end{aligned}$$

である。

2)

z軸に垂直な成分は打ち消し合うことを考慮して、 求める電場の大きさは

$$\begin{aligned} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\rho dl}{a^2+z^2} \frac{|z|}{\sqrt{a^2+z^2}} \cdot 2 = \frac{1}{2 \pi \varepsilon_0} \frac{|z| \rho dl}{(a^2+z^2)^{3/2}} \end{aligned}$$

である。

また、電場の向きは、 $z \gt 0$ のときは +z方向、 $z \lt 0$ のときは -z方向である。

3)

z方向の単位ベクトルを $\hat{z}$ として、

$$\begin{aligned} \vec{E} &= \int_0^{\pi a} \frac{1}{2 \pi \varepsilon_0} \frac{z \rho dl}{(a^2+z^2)^{3/2}} \hat{z} \\ &= \frac{1}{2 \pi \varepsilon_0} \frac{z \rho \cdot \pi a}{(a^2+z^2)^{3/2}} \hat{z} \\ &= \frac{1}{2 \varepsilon_0} \frac{az \rho}{(a^2+z^2)^{3/2}} \hat{z} \end{aligned}$$

である。

4)

$a=\rho=\varepsilon_0=1$ とすると

$$E_z(z)=\frac{z}{2(1+z^2)^{3/2}},\qquad E_z'(z)=\frac{1-2z^2}{2(1+z^2)^{5/2}}.$$

奇関数で、原点を通り、$z\to\pm\infty$ で $0$ に近づく。極大点は $(1/\sqrt2,1/(3\sqrt3))$、極小点は $(-1/\sqrt2,-1/(3\sqrt3))$ である。

5)

z方向の単位ベクトルを $\hat{z}$ として、

$$\begin{aligned} \vec{B} &= \int_0^{2 \pi a} \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{a \omega \rho dl}{a^2+z^2} \frac{a}{\sqrt{a^2+z^2}} \hat{z} \\ &= \int_0^{2 \pi a} \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{a^2 \omega \rho dl}{(a^2+z^2)^{3/2}} \hat{z} \\ &= \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{a^2 \omega \rho \cdot 2 \pi a}{(a^2+z^2)^{3/2}} \hat{z} \\ &= \frac{\mu_0 a^3 \omega \rho}{2 (a^2+z^2)^{3/2}} \hat{z} \end{aligned}$$

である。

[2]

1)

$\nabla\cdot\mathbf E=0$ より

$$\begin{gathered} 0 = \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} \\ = \frac{\partial E_z}{\partial z} = X(x) Y(y) \frac{dZ(z)}{dz} \sin \omega t \end{gathered}$$

であるから、

$$\begin{aligned} \frac{dZ(z)}{dz} = 0 \end{aligned}$$

であり、 $Z(z)$ は $z$ に依存しない定数である。

2)

波動方程式の $z$ 成分の両辺に $E_z(x,y,t) = X(x) Y(y) Z \sin \omega t$ を代入すると、

$$\begin{gathered} \frac{d^2 X(x)}{dx^2} Y(y) Z \sin \omega t + X(x) \frac{d^2 Y(y)}{dy^2} Z \sin \omega t \\ = - \varepsilon_0 \mu_0 \omega^2 X(x) Y(y) Z \sin \omega t \end{gathered}$$

であるから、

$$\begin{aligned} \frac{1}{X} \frac{d^2 X}{dx^2} + \frac{1}{Y} \frac{d^2 Y}{dy^2} = - \varepsilon_0 \mu_0 \omega^2 \end{aligned}$$

を得る。

3)

$$\begin{aligned} \frac{1}{X} \frac{d^2 X}{dx^2} = -k_x^2 , \ \ \ \ \frac{1}{Y} \frac{d^2 Y}{dy^2} = -k_y^2 \end{aligned}$$

より、

$$\begin{aligned} \frac{d^2 X}{dx^2} = -k_x^2 X , \ \ \ \ \frac{d^2 Y}{dy^2} = -k_y^2 Y \end{aligned}$$

であるから、 $X, Y$ の一般解は、次のようになる：

$$\begin{aligned} \begin{cases} X(x) = A \sin k_x x + B \cos k_x x \\ Y(y) = C \sin k_y y + D \cos k_y y \end{cases} . \end{aligned}$$

ここで、 $A, B, C, D$ は積分定数である。

4)

(i) $X(0)=0$ より、 $B=0$ であり、

$$\begin{aligned} X(x) = A \sin k_x x \end{aligned}$$

を得る。

$Y(0)=0$ より、 $D=0$ であり、

$$\begin{aligned} Y(y) = C \sin k_y y \end{aligned}$$

を得る。

よって、

$$\begin{aligned} E_z &= A \sin k_x x \cdot C \sin k_y y \cdot Z \sin \omega t \\ &= E_{z0} \sin k_x x \sin k_y y \sin \omega t \end{aligned}$$

を得る。 ここで、 $E_{z0} = A C Z$ とした。

(ii) $X(a)=0$ より、

$$\begin{aligned} k_x = \frac{\pi}{a} n_x \ \ \ \ (n_x = 1, 2, \cdots) \end{aligned}$$

を得る。

$Y(a)=0$ より、

$$\begin{aligned} k_y = \frac{\pi}{a} n_y \ \ \ \ (n_y = 1, 2, \cdots) \end{aligned}$$

を得る。

5)

問2), 3)より、

$$\begin{aligned} -k_x^2 - k_y^2 = - \varepsilon_0 \mu_0 \omega^2 \end{aligned} \begin{aligned} \therefore \ \ \omega^2 = \frac{k_x^2 + k_y^2}{\varepsilon_0 \mu_0} \end{aligned}$$

である。

これに、問4)で得た $k_x = \pi n_x / a, k_y = \pi n_y / a$ を代入すると、

$$\begin{aligned} \omega^2 = \frac{\pi^2 (n_x^2 + n_y^2)}{\varepsilon_0 \mu_0 a^2} \end{aligned}$$

となる。

$\omega = \omega_0$ となるのは $n_x=n_y=1$ のときなので、

$$\begin{aligned} \omega_0^2 &= \frac{2 \pi^2}{\varepsilon_0 \mu_0 a^2} \\ \therefore \ \ \omega_0 &= \sqrt{\frac{2 \pi^2}{\varepsilon_0 \mu_0 a^2}} \end{aligned}$$

を得る。

6)

$k=\pi/a$ とおけば、基本モードの電場は

$$\mathbf E=E_{z0}\sin(kx)\sin(ky)\sin(\omega_0t)\,\hat{\mathbf z},\qquad \omega_0^2=\frac{2k^2}{\varepsilon_0\mu_0}.$$

Faraday の法則 $\partial_t\mathbf B=-\nabla\times\mathbf E$ を時間積分すると、共振に伴う振動磁場は

$$\boxed{\mathbf B=\frac{E_{z0}k}{\omega_0}\left[\sin(kx)\cos(ky)\,\hat{\mathbf x}-\cos(kx)\sin(ky)\,\hat{\mathbf y}\right]\cos(\omega_0t)}.$$

$B_z=0$ であり、直接微分すると $\nabla\cdot\mathbf B=0$ と $\nabla\times\mathbf B=\varepsilon_0\mu_0\partial_t\mathbf E$ も満たす。共振とは無関係な静磁場の加算はここでは含めていない。

Reference

• 東北大学 2019年度入学 物理学専攻入試原卷（公式サイトの保存版）