東北大学 理学研究科 物理学専攻 2018年8月実施 問題2（力学）

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• Lagrangian-Mechanics
• Spring-Pendulum-Coupled-Normal-Modes

Author

Miyake

Description

Kai

1)

$$\begin{aligned} X &= x + l \sin \theta \\ Y &= - l \cos \theta \\ \dot{X} &= \dot{x} + l \dot{\theta} \cos \theta \\ \dot{Y} &= l \dot{\theta} \sin \theta \end{aligned}$$

2)

ラグランジアンは、(運動エネルギー) - (位置エネルギー) であるから、

$$\begin{aligned} L &= \frac{1}{2} 2m \dot{x}^2 + \frac{1}{2} m \left( \dot{X}^2 + \dot{Y}^2 \right) - \frac{1}{2} k x^2 - mgY \\ &= \frac{1}{2} m \left( 3 \dot{x}^2 + 2 l \dot{x} \dot{\theta} \cos \theta + l^2 \dot{\theta}^2 \right) - \frac{1}{2} k x^2 + mgl \cos \theta \end{aligned}$$

である。

3)

問2) で求めた $L$ は $x, \dot{x}, \theta, \dot{\theta}$ の2次までで、

$$\begin{aligned} L &= \frac{1}{2} m \left( 3 \dot{x}^2 + 2 l \dot{x} \dot{\theta} + l^2 \dot{\theta}^2 \right) - \frac{1}{2} k x^2 + mgl \left( 1 - \frac{1}{2} \theta^2 \right) \end{aligned}$$

である。

4)

問3) で求めた $L$ について、次のように計算する：

$$\begin{aligned} \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} &= \frac{d}{dt} \left( 3m \dot{x} + ml \dot{\theta} \right) = 3m \ddot{x} + ml \ddot{\theta} = 3m \ddot{x} + m \ddot{s} ,\\ \frac{\partial L}{\partial x} &= -kx = -2m \Omega^2 x ,\\ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} &= \frac{d}{dt} \left( ml \dot{x} + ml^2 \dot{\theta} \right) = ml \ddot{x} + ml^2 \ddot{\theta} = ml \ddot{x} + ml \ddot{s} ,\\ \frac{\partial L}{\partial \theta} &= -mgl \theta = -mgs . \end{aligned}$$

よって、運動方程式は次のようになる：

$$\begin{aligned} & \begin{cases} 3m \ddot{x} + m \ddot{s} = -2m \Omega^2 x \\ ml \ddot{x} + ml \ddot{s} = -mgs \end{cases} \\ \therefore \ \ \ \ & \begin{cases} 3 \ddot{x} + \ddot{s} = - 2 \Omega^2 x \\ \ddot{x} + \ddot{s} = - \Omega^2 s \end{cases} \end{aligned}$$

5)

問4) で求めた運動方程式に $x=A \sin \omega t, s=B \sin \omega t$ を代入すると、

$$\begin{align} & \begin{cases} -3 \omega^2 A \sin \omega t - \omega^2 B \sin \omega t = -2 \Omega^2 A \sin \omega t \\ - \omega^2 A \sin \omega t - \omega^2 B \sin \omega t = - \Omega^2 B \sin \omega t \end{cases} \nonumber \\ \therefore \ \ \ \ & \begin{cases} \left( 3 \omega^2 - 2 \Omega^2 \right) A + \omega^2 B = 0 \\ \omega^2 A + \left( \omega^2 - \Omega^2 \right) B = 0 \end{cases} \tag{1} \end{align}$$

となるから、自明でない解をもつための条件は、

$$\begin{aligned} 0 = \begin{vmatrix} 3 \omega^2 - 2 \Omega^2 & \omega^2 \\ \omega^2 & \omega^2 - \Omega^2 \end{vmatrix} = (\omega + \sqrt{2} \Omega) (\omega - \sqrt{2} \Omega) (\sqrt{2} \omega + \Omega) (\sqrt{2} \omega - \Omega) \end{aligned}$$

である。

$\omega_1 \gt \omega_2 \gt 0$ であるから、

$$\begin{aligned} \omega_1 = \sqrt{2} \Omega , \ \ \omega_2 = \frac{\Omega}{\sqrt{2}} \end{aligned}$$

を得る。

6)

(i) $\omega = \omega_1$ を式($1$)に代入して、次を得る：

$$\begin{aligned} \frac{A}{B} = - \frac{1}{2} . \end{aligned}$$

(ii) $\omega = \omega_2$ を式($1$)に代入して、次を得る：

$$\begin{aligned} \frac{A}{B} = 1 . \end{aligned}$$