東北大学 理学研究科 物理学専攻 2018年8月実施 問題1（基礎数学）

Author

Miyake

Description

Kai

[1]

1)

余緯角（方位角）を 、緯度角（偏角）を とすると、

であるから、

である。

2)

与えられた行列の固有値を とすると、

である。

(i) 固有値 に対応する固有ベクトルを求めるため、次のようにおく：

これを整理すると、 であるから、例えば、

が規格化された固有ベクトルである。

(ii) 固有値 に対応する固有ベクトルを求めるため、次のようにおく：

これを整理すると、 であるから、例えば、

が規格化された互いに直交する固有ベクトルである。

[2]

1)

のとき、 であり、次のようになる：

のとき、 であり、次のようになる：

これらの実部どうし・虚部どうしが等しいので、次を得る：

2)

の内部で は特異点を持たないので、 である。

また、 は次のように4つの積分に分けて計算できる：

以上より、 は において、

となり、

を得る。