東北大学 理学研究科 物理学専攻 2018年8月実施 問題1（基礎数学）

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• Triple-Integral
• Orthogonal-Diagonalization-of-Symmetric-Matrices
• Cauchy-Riemann-Equations
• Dirichlet-Integral-by-Indented-Contour

Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

原題に基づく要約（日本語）

公式原題

[1] 積分と線形代数

1. 半径 $a>0$ の球の内部で、球の中心からの距離を $r$ とする。$\iiint_{r\le a}r^{-2}\,dx\,dy\,dz$ を球座標で計算し、積分範囲を明記する。Jacobian の導出は不要。
2. $A=\begin{pmatrix}-1&-1&1\\-1&-1&-1\\1&-1&-1\end{pmatrix}$ の全固有値と、対応する固有空間の正規直交基底を求める。

[2] 複素関数

1. $z=x+iy,\ f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ とし、複素微分の定義を実方向と虚方向の増分に適用して、微分可能性から従う $u,v$ の偏導関数の関係を導く。
2. $R>\varepsilon>0$ とする。$C$ は $\varepsilon\to R$ の実軸線分、上半平面の大半円 $R\to-R$、実軸線分 $-R\to-\varepsilon$、上半平面の小半円 $-\varepsilon\to\varepsilon$ からなる。この経路で $\oint_Ce^{iz}/z\,dz$ を計算し、$\int_0^\infty\sin x/x\,dx$ を求める。四つの部分経路それぞれの計算を示す。

题目描述

【积分与线性代数】

1. 在半径为 $a>0$ 的球内，$r$ 表示到球心的距离。用球坐标计算 $\iiint_{r\le a}r^{-2}\,dx\,dy\,dz$，明确积分范围，无须推导 Jacobian。
2. 求矩阵 $A=\begin{pmatrix}-1&-1&1\\-1&-1&-1\\1&-1&-1\end{pmatrix}$ 的全部特征值，并给出各特征空间的一组标准正交基。

【复变函数】

1. 令 $z=x+iy,\ f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$。分别从实方向和虚方向使用复导数定义，导出可微性对 $u,v$ 偏导数的要求。
2. 取 $R>\varepsilon>0$，按上图围道沿正实轴从 $\varepsilon$ 到 $R$、沿大半圆到 $-R$、沿负实轴到 $-\varepsilon$、沿上半平面的小半圆回到 $\varepsilon$。计算 $\oint_C e^{iz}/z\,dz$，逐段说明积分及极限，并求 $\int_0^\infty\sin x/x\,dx$。

Kai

[1]

1)

正の $z$ 軸から測る極角（余緯角）を $\theta$ 、$xy$ 平面内の方位角を $\varphi$ とすると、

$dx dy dz = r^2 \sin \theta dr d \theta d \varphi$ であるから、

$$\begin{aligned} \iiint_{r \leq a} \frac{1}{r^2} dx dy dz &= \int_0^a dr \int_0^\pi d \theta \int_0^{2 \pi} d \varphi \frac{r^2 \sin \theta}{r^2} \\ &= 2 \pi a \left[ - \cos \theta \right]_0^\pi \\ &= 4 \pi a \end{aligned}$$

である。

2)

与えられた行列の固有値を $\lambda$ とすると、

$$\begin{aligned} 0 &= \begin{vmatrix} \lambda + 1 & 1 & -1 \\ 1 & \lambda + 1 & 1 \\ -1 & 1 & \lambda + 1 \end{vmatrix} = (\lambda - 1)(\lambda + 2)^2 \\ \therefore \lambda &= 1, -2 \end{aligned}$$

である。

(i) 固有値 $1$ に対応する固有ベクトルを求めるため、次のようにおく：

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} . \end{aligned}$$

これを整理すると、 $x+y=0, x=z$ であるから、例えば、

$$\begin{aligned} v_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

が規格化された固有ベクトルである。

(ii) 固有値 $-2$ に対応する固有ベクトルを求めるため、次のようにおく：

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = -2 \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} . \end{aligned}$$

これを整理すると、 $y=x+z$ であるから、例えば、

$$\begin{aligned} v_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , v_3 = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

が規格化された互いに直交する固有ベクトルである。

[2]

1)

$\Delta y = 0$ のとき、 $\Delta h = \Delta x$ であり、次のようになる：

$$\begin{aligned} \lim_{\Delta h \to 0} \frac{f(z + \Delta h) - f(z)}{\Delta h} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ \left\{ u(x + \Delta x, y) + i v(x + \Delta x, y) \right\} - \left\{ u(x,y) + i v(x,y) \right\} } {\Delta x} \\ &= \frac{\partial u(x,y)}{\partial x} + i \frac{\partial v(x,y)}{\partial x} . \end{aligned}$$

$\Delta x = 0$ のとき、 $\Delta h = i \Delta y$ であり、次のようになる：

$$\begin{aligned} \lim_{\Delta h \to 0} \frac{f(z + \Delta h) - f(z)}{\Delta h} &= \lim_{\Delta y \to 0} \frac{ \left\{ u(x, y + \Delta y) + i v(x, y + \Delta y) \right\} - \left\{ u(x,y) + i v(x,y) \right\} } {i \Delta y} \\ &= -i \frac{\partial u(x,y)}{\partial y} + \frac{\partial v(x,y)}{\partial y} . \end{aligned}$$

これらの実部どうし・虚部どうしが等しいので、次を得る：

$$\begin{aligned} \frac{\partial u(x,y)}{\partial x} = \frac{\partial v(x,y)}{\partial y} , \ \ \frac{\partial v(x,y)}{\partial x} = - \frac{\partial u(x,y)}{\partial y} . \end{aligned}$$

2)

$C$ の内部で $e^{iz}/z$ は特異点を持たないので、 $I=0$ である。

また、$I$ は次のように4つの積分に分けて計算できる：

$$\begin{aligned} I_1 &= \int_\varepsilon^R \frac{e^{ix}}{x} dx \\ &= \int_\varepsilon^R \frac{\cos x}{x} dx + i \int_\varepsilon^R \frac{\sin x}{x} dx ,\\ I_2 &= \int_{-R}^{-\varepsilon} \frac{e^{ix}}{x} dx \\ &= - \int_\varepsilon^R \frac{\cos x}{x} dx + i \int_\varepsilon^R \frac{\sin x}{x} dx ,\\ I_3 &= \int_\pi^0 \frac{e^{i \varepsilon \exp(i \theta)}}{\varepsilon e^{i \theta}} i \varepsilon e^{i \theta} d \theta \\ &= -i \int_0^\pi e^{i \varepsilon \exp (i \theta)} d \theta \\ &\xrightarrow{\varepsilon \to 0} -i \int_0^\pi d \theta = -i \pi ,\\ I_4 &= \int_0^\pi \frac{e^{iR \exp (i \theta)}}{R e^{i \theta}} i R e^{i \theta} d \theta \\ &= i \int_0^\pi e^{iR \exp (i \theta)} d \theta \\ &= i \int_0^\pi e^{R ( i \cos \theta - \sin \theta)} d \theta ,\\ \left| I_4 \right| &\leq \int_0^\pi \left| e^{R ( i \cos \theta - \sin \theta)} \right| d \theta \\ &= \int_0^\pi e^{-R \sin \theta} d \theta \\ &\lt \frac{\pi}{R} \xrightarrow{R \to \infty} 0 . \end{aligned}$$

以上より、$I=I_1+I_2+I_3+I_4=0$ は $\varepsilon \to 0, R \to \infty$ において、

$$\begin{aligned} 2i \int_0^\infty \frac{\sin x}{x} dx - i \pi = 0 \end{aligned}$$

となり、

$$\begin{aligned} \int_0^\infty \frac{\sin x}{x} dx = \frac{\pi}{2} \end{aligned}$$

を得る。

Reference

• 東北大学 2019年度入学 物理学専攻入試原卷（公式サイトの保存版）