東北大学大学院理学研究科数学専攻 2025年8月実施共通問題問題4

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祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

問題は4題ある．全問に解答すること．

$\mathbb{R}^2$ の部分集合

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 1<x+y<2,\ 0<x\le1,\ 0<y\le1\}

における広義重積分

I=\iint_D\frac{1}{xy\log(x+y-1)}\,dx\,dy

の値を求めよ．

本卷共有4题，全部作答。

设 $\mathbb{R}^2$ 的子集

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 1<x+y<2,\ 0<x\le1,\ 0<y\le1\}.

求广义二重积分

I=\iint_D\frac{1}{xy\log(x+y-1)}\,dx\,dy

的值。

$u=x+y,\ v=x-y$ とおくと

x=\frac{u+v}{2},\qquad y=\frac{u-v}{2},\qquad \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\frac12.

領域は $1<u<2,\ u-2\le v\le2-u$ に移る．被積分関数は負であるので，まずその絶対値を非負関数として積分する．固定した $1<u<2$ に対し

\begin{aligned} \int_{u-2}^{2-u}\frac{dv}{u^2-v^2} &=\frac1{2u}\left[\log\frac{u+v}{u-v}\right]_{u-2}^{2-u}\\ &=-\frac{\log(u-1)}{u}. \end{aligned}

したがって，非負関数の積分に対する変数変換と Tonelli の定理により

\begin{aligned} \iint_D\left|\frac1{xy\log(x+y-1)}\right|\,dx\,dy &=\int_1^2\frac{-2}{\log(u-1)} \left(\int_{u-2}^{2-u}\frac{dv}{u^2-v^2}\right)du\\ &=\int_1^2\frac2u\,du=2\log2<\infty. \end{aligned}

よって広義積分は絶対収束し，符号を戻して

\boxed{I=-2\log2}.