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東北大学 大学院理学研究科 数学専攻 2025年8月実施 共通問題 問題3

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Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は4題ある．全問に解答すること．

ff を R\mathbb{R} の区間 I=[0,∞)I=[0,\infty) で定義された実数値関数とし，II 上の実数値関数の列 {fn}n=1∞\{f_n\}_{n=1}^{\infty} と実数列 {an}n=1∞\{a_n\}_{n=1}^{\infty} は，次の三つの条件 (A), (B), (C) を満たすとする．

(A) {fn}n=1∞\{f_n\}_{n=1}^{\infty} は II 上で ff に一様収束する．

(B) 任意の正の整数 nn に対して fnf_n は II 上で連続である．

(C) 任意の正の整数 nn に対して極限 lim⁡x→∞fn(x)\displaystyle\lim_{x\to\infty}f_n(x) が存在して ana_n に等しい．

以下の問いに答えよ．

(1) 数列 {an}n=1∞\{a_n\}_{n=1}^{\infty} は収束することを示せ．

(2) 数列 {an}n=1∞\{a_n\}_{n=1}^{\infty} の極限を α\alpha とする．lim⁡x→∞f(x)=α\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\alpha が成り立つことを示せ．

(3) ff は II 上で一様連続であることを示せ．

(4) α\alpha を設問 (2) で定めた定数とするとき，

lim⁡n→∞1n∫0nfn(x) dx=α\lim_{n\to\infty}\frac1n\int_0^n f_n(x)\,dx=\alpha

が成り立つことを示せ．

题目描述​

本卷共有4题，全部作答。

设 ff 为实数区间 I=[0,∞)I=[0,\infty) 上的实值函数，II 上的实值函数列 {fn}n=1∞\{f_n\}_{n=1}^{\infty} 和实数列 {an}n=1∞\{a_n\}_{n=1}^{\infty} 满足以下三个条件。

(A) fnf_n 在 II 上一致收敛于 ff。

(B) 对每个正整数 nn，fnf_n 在 II 上连续。

(C) 对每个正整数 nn，极限 lim⁡x→∞fn(x)\displaystyle\lim_{x\to\infty}f_n(x) 存在且等于 ana_n。

回答下列问题。

(1) 证明数列 {an}n=1∞\{a_n\}_{n=1}^{\infty} 收敛。

(2) 记该数列的极限为 α\alpha。证明 lim⁡x→∞f(x)=α\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\alpha。

(3) 证明 ff 在 II 上一致连续。

(4) 对第 (2) 问定义的常数 α\alpha，证明

lim⁡n→∞1n∫0nfn(x) dx=α.\lim_{n\to\infty}\frac1n\int_0^n f_n(x)\,dx=\alpha.

Kai​

(1)​

一様収束より，任意の ε>0\varepsilon>0 に対し，ある NN が存在して，m,n≥Nm,n\ge N ならばすべての x∈Ix\in I について

∣fm(x)−fn(x)∣<ε2|f_m(x)-f_n(x)|<\frac{\varepsilon}{2}

となる．m,nm,n を固定して x→∞x\to\infty とすれば，∣am−an∣≤ε/2<ε|a_m-a_n|\le\varepsilon/2<\varepsilon．したがって {an}\{a_n\} はコーシー列であり，R\mathbb{R} の完備性により収束する．

(2)​

ε>0\varepsilon>0 に対して，NN を十分大きくとり

sup⁡x∈I∣f(x)−fN(x)∣<ε3,∣aN−α∣<ε3\sup_{x\in I}|f(x)-f_N(x)|<\frac{\varepsilon}{3}, \qquad |a_N-\alpha|<\frac{\varepsilon}{3}

とする．(C) より，ある R>0R>0 が存在して，x≥Rx\ge R ならば ∣fN(x)−aN∣<ε/3|f_N(x)-a_N|<\varepsilon/3．よって

∣f(x)−α∣≤∣f(x)−fN(x)∣+∣fN(x)−aN∣+∣aN−α∣<ε.|f(x)-\alpha| \le |f(x)-f_N(x)|+|f_N(x)-a_N|+|a_N-\alpha| <\varepsilon.

これで lim⁡x→∞f(x)=α\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\alpha が示された．

(3)​

連続関数列の一様極限なので ff は連続である．ε>0\varepsilon>0 に対し，x≥Rx\ge R ならば ∣f(x)−α∣<ε/2|f(x)-\alpha|<\varepsilon/2 となる R>0R>0 をとる．コンパクト区間 [0,R+1][0,R+1] 上での一様連続性より，ある 0<δ≤10<\delta\le1 が存在して，x,y∈[0,R+1]x,y\in[0,R+1] かつ ∣x−y∣<δ|x-y|<\delta ならば ∣f(x)−f(y)∣<ε|f(x)-f(y)|<\varepsilon．

一方，∣x−y∣<δ|x-y|<\delta で，少なくとも一方が R+1R+1 より大きければ，両方とも RR より大きい．このときも

∣f(x)−f(y)∣≤∣f(x)−α∣+∣f(y)−α∣<ε.|f(x)-f(y)|\le|f(x)-\alpha|+|f(y)-\alpha|<\varepsilon.

したがって ff は II 上で一様連続である．

(4)​

ε>0\varepsilon>0 に対して，x≥Rx\ge R ならば ∣f(x)−α∣<ε|f(x)-\alpha|<\varepsilon となる RR を固定する．n>Rn>R のとき

∣1n∫0nfn(x) dx−α∣≤sup⁡x∈I∣fn(x)−f(x)∣+1n∫0n∣f(x)−α∣ dx≤sup⁡x∈I∣fn(x)−f(x)∣+1n∫0R∣f(x)−α∣ dx+ε.\begin{aligned} \left|\frac1n\int_0^n f_n(x)\,dx-\alpha\right| &\le \sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)| +\frac1n\int_0^n|f(x)-\alpha|\,dx\\ &\le \sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)| +\frac1n\int_0^R|f(x)-\alpha|\,dx+\varepsilon. \end{aligned}

最初の項は (A) により 00 に収束し，二番目の項も分子が有限の定数なので 00 に収束する．上極限は ε\varepsilon 以下であり，ε\varepsilon は任意だから求める極限は α\alpha である．

Reference​

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