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東北大学 理学研究科 数学専攻 2025年8月実施 共通問題 [2]

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祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は 44 題ある。全問に解答すること。

以下の問いに答えよ。

(1) OR\mathcal O_{\mathbb R} を R\mathbb R のユークリッド位相の開集合系とする。X=R×{1,−1}X=\mathbb R\times\{1,-1\} とする。XX の位相 OX\mathcal O_X を

OX={(U×{1})∪(U′×{−1})∣U,U′∈OR}\mathcal O_X=\{(U\times\{1\})\cup(U'\times\{-1\})\mid U,U'\in\mathcal O_{\mathbb R}\}

と定める。XX 上の同値関係 ∼\sim を、p,q∈Rp,q\in\mathbb R、s,t∈{1,−1}s,t\in\{1,-1\} に対し

(p,s)∼(q,t)⟺(p,s)=(q,t) または p=q∈R∖{0}(p,s)\sim(q,t)\quad\Longleftrightarrow\quad (p,s)=(q,t)\text{ または }p=q\in\mathbb R\setminus\{0\}

と定める。Y=X/∼Y=X/\sim とおき、標準的射影を π:X→Y\pi:X\to Y とおく。π\pi の定める YY 上の商位相を OY\mathcal O_Y とおく。位相空間 (Y,OY)(Y,\mathcal O_Y) はハウスドルフ空間であるかどうか、理由とともに答えよ。

(2) ZZ をハウスドルフな位相空間とし、WW を位相空間とする。f:Z→Wf:Z\to W は全射であり、かつ任意の w∈Ww\in W に対し f−1({w})f^{-1}(\{w\}) が有限集合であるとする。このとき、以下の (i)、(ii) の命題はそれぞれ真であるか。真であるならばそのことを証明せよ。偽であるならば反例をあげ、実際に反例になっていることを証明せよ。

(i) ff が連続な開写像であるならば、WW はハウスドルフ空間である。

(ii) ff が閉写像であるならば、WW はハウスドルフ空間である。

ここで、写像 f:Z→Wf:Z\to W について、ff が開写像であるとは ZZ の任意の開集合 UU に対し f(U)f(U) が WW の開集合であることをいい、ff が閉写像であるとは ZZ の任意の閉集合 FF に対し f(F)f(F) が WW の閉集合であることをいう。

题目描述​

试卷共 44 道题，全部作答。

回答下列问题。

(1) 设 OR\mathcal O_{\mathbb R} 为 R\mathbb R 的欧几里得拓扑的开集族，X=R×{1,−1}X=\mathbb R\times\{1,-1\}。定义 XX 的拓扑

OX={(U×{1})∪(U′×{−1})∣U,U′∈OR}.\mathcal O_X=\{(U\times\{1\})\cup(U'\times\{-1\})\mid U,U'\in\mathcal O_{\mathbb R}\}.

对于 p,q∈Rp,q\in\mathbb R、s,t∈{1,−1}s,t\in\{1,-1\}，定义 XX 上的等价关系

(p,s)∼(q,t)⟺(p,s)=(q,t) 或 p=q∈R∖{0}.(p,s)\sim(q,t)\quad\Longleftrightarrow\quad (p,s)=(q,t)\text{ 或 }p=q\in\mathbb R\setminus\{0\}.

令 Y=X/∼Y=X/\sim，π:X→Y\pi:X\to Y 为自然投影，OY\mathcal O_Y 为 π\pi 确定的商拓扑。判断 (Y,OY)(Y,\mathcal O_Y) 是否为豪斯多夫空间，并说明理由。

(2) 设 ZZ 为豪斯多夫拓扑空间，WW 为拓扑空间。设 f:Z→Wf:Z\to W 为满射，且对每个 w∈Ww\in W，f−1({w})f^{-1}(\{w\}) 都是有限集。分别判断下列命题 (i)、(ii) 是否正确。若正确则证明；若错误则给出反例，并证明其确为反例。

(i) 若 ff 是连续开映射，则 WW 是豪斯多夫空间。

(ii) 若 ff 是闭映射，则 WW 是豪斯多夫空间。

这里，f:Z→Wf:Z\to W 为开映射是指 ZZ 的任意开集 UU 的像 f(U)f(U) 都是 WW 的开集；ff 为闭映射是指 ZZ 的任意闭集 FF 的像 f(F)f(F) 都是 WW 的闭集。

Kai​

(1)​

ハウスドルフ空間ではない。o+=π(0,1)o_+=\pi(0,1) と o−=π(0,−1)o_-=\pi(0,-1) は異なる点である。これらの任意の開近傍をそれぞれ V+,V−V_+,V_- とする。商位相の定義から π−1(V±)\pi^{-1}(V_\pm) は XX の開集合である。よって、ある ε+,ε−>0\varepsilon_+,\varepsilon_->0 が存在して

(−ε+,ε+)×{1}⊂π−1(V+),(−ε−,ε−)×{−1}⊂π−1(V−).(-\varepsilon_+,\varepsilon_+)\times\{1\}\subset\pi^{-1}(V_+),\qquad (-\varepsilon_-,\varepsilon_-)\times\{-1\}\subset\pi^{-1}(V_-).

0<∣p∣<min⁡(ε+,ε−)0<|p|<\min(\varepsilon_+,\varepsilon_-) と取ると、π(p,1)=π(p,−1)\pi(p,1)=\pi(p,-1) が V+∩V−V_+\cap V_- に属する。したがって o+,o−o_+,o_- を交わらない開近傍で分離できない。

(2)(i)​

偽である。(1) の Z=XZ=X、W=YW=Y、f=πf=\pi を取る。XX は二本の実数直線の直和であるからハウスドルフであり、π\pi は連続な全射である。各ファイバーは、座標 p≠0p\ne0 なら二点、p=0p=0 なら一点からなる。

また、U⊂RU\subset\mathbb R が開集合なら

π−1(π(U×{1}))=(U×{1})∪((U∖{0})×{−1})\pi^{-1}(\pi(U\times\{1\})) =(U\times\{1\})\cup((U\setminus\{0\})\times\{-1\})

は XX で開いている。{−1}\{-1\} 側も同様であり、XX の任意の開集合はこのような集合の和である。したがって π\pi は開写像である。しかし (1) より YY はハウスドルフではないので、反例となる。

(2)(ii)​

真である。w1≠w2w_1\ne w_2 とし、Fi=f−1({wi})F_i=f^{-1}(\{w_i\}) とおく。F1,F2F_1,F_2 は互いに交わらない非空有限集合である。ハウスドルフ性により各 x∈F1,y∈F2x\in F_1,y\in F_2 を互いに交わらない開集合 Uxy,VxyU_{xy},V_{xy} で分離できる。有限回の共通部分と和を取って

U=⋃x∈F1⋂y∈F2Uxy,V=⋃y∈F2⋂x∈F1VxyU=\bigcup_{x\in F_1}\bigcap_{y\in F_2}U_{xy},\qquad V=\bigcup_{y\in F_2}\bigcap_{x\in F_1}V_{xy}

とすれば、U,VU,V は F1,F2F_1,F_2 をそれぞれ含む互いに交わらない開集合となる。

ff は閉写像なので

G1=W∖f(Z∖U),G2=W∖f(Z∖V)G_1=W\setminus f(Z\setminus U),\qquad G_2=W\setminus f(Z\setminus V)

は開集合であり、wi∈Giw_i\in G_i である。もし w∈G1∩G2w\in G_1\cap G_2 なら、f−1({w})⊂U∩V=∅f^{-1}(\{w\})\subset U\cap V=\varnothing となり、全射性に反する。よって G1∩G2=∅G_1\cap G_2=\varnothing であり、WW はハウスドルフである。

Reference​

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