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東北大学 理学研究科 数学専攻 2024年8月実施 選択問題 [6]

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Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は8題ある。3題を選択して解答すること。

(X,∥⋅∥)(X,\|\cdot\|) を実バナッハ空間とする。以下の問いに答えよ。

(1) 弱収束する点列 {xn}n=1∞⊂X\{x_n\}_{n=1}^\infty\subset X は有界列であることを示せ。

(2) 点列 {xn}n=1∞⊂X\{x_n\}_{n=1}^\infty\subset X が x∈Xx\in X に弱収束するならば、次が成り立つことを示せ。

∥x∥≤lim inf⁡n→∞∥xn∥.\|x\|\le\liminf_{n\to\infty}\|x_n\|.

(3) (X,∥⋅∥)(X,\|\cdot\|) は次の条件 (∗)(*) を満たすとする。

(∗)(*) 任意の ε>0\varepsilon>0 に対してある δ>0\delta>0 が存在し、

y,z∈X, ∥y∥≤1, ∥z∥≤1, ∥y−z∥>εならば∥y+z2∥<1−δ.y,z\in X,\ \|y\|\le1,\ \|z\|\le1,\ \|y-z\|>\varepsilon \quad\text{ならば}\quad \left\|\frac{y+z}{2}\right\|<1-\delta.

点列 {xn}n=1∞⊂X\{x_n\}_{n=1}^\infty\subset X は次の2つの条件 (i), (ii) を満たすとする。

(i) {xn}n=1∞\{x_n\}_{n=1}^\infty は x∈Xx\in X に弱収束する。

(ii) lim sup⁡n→∞∥xn∥≤∥x∥\limsup_{n\to\infty}\|x_n\|\le\|x\|。

このとき、{xn}n=1∞\{x_n\}_{n=1}^\infty は xx に強収束することを示せ。

题目描述​

试卷共8题，选择其中3题作答。

设 (X,∥⋅∥)(X,\|\cdot\|) 为实巴拿赫空间，回答下列问题。

(1) 证明弱收敛序列 {xn}n=1∞⊂X\{x_n\}_{n=1}^\infty\subset X 必有界。

(2) 若 xnx_n 弱收敛于 x∈Xx\in X，证明

∥x∥≤lim inf⁡n→∞∥xn∥.\|x\|\le\liminf_{n\to\infty}\|x_n\|.

(3) 假设空间满足条件 (∗)(*)：对任意 ε>0\varepsilon>0，存在 δ>0\delta>0，使

y,z∈X, ∥y∥≤1, ∥z∥≤1, ∥y−z∥>ε⟹∥y+z2∥<1−δ.y,z\in X,\ \|y\|\le1,\ \|z\|\le1,\ \|y-z\|>\varepsilon \quad\Longrightarrow\quad \left\|\frac{y+z}{2}\right\|<1-\delta.

设序列 {xn}⊂X\{x_n\}\subset X 满足：

(i) xnx_n 弱收敛于 x∈Xx\in X；

(ii) lim sup⁡n→∞∥xn∥≤∥x∥\limsup_{n\to\infty}\|x_n\|\le\|x\|。

证明 xnx_n 强收敛于 xx。

Kai​

(1)​

各 nn について Φn∈X∗∗\Phi_n\in X^{**} を Φn(f)=f(xn)\Phi_n(f)=f(x_n)（f∈X∗f\in X^*）と定める。Hahn–Banach の定理による自然な埋め込みの等長性から ∥Φn∥=∥xn∥\|\Phi_n\|=\|x_n\| である。弱収束より各 f∈X∗f\in X^* について sup⁡n∣Φn(f)∣<∞\sup_n|\Phi_n(f)|<\infty となる。X∗X^* は Banach 空間なので、一様有界性原理を適用して

sup⁡n∥xn∥=sup⁡n∥Φn∥<∞\sup_n\|x_n\|=\sup_n\|\Phi_n\|<\infty

を得る。

(2)​

x=0x=0 の場合は明らかである。x≠0x\ne0 の場合、Hahn–Banach の定理から ∥f0∥=1\|f_0\|=1, f0(x)=∥x∥f_0(x)=\|x\| を満たす f0∈X∗f_0\in X^* をとれる。従って

∥x∥=lim⁡nf0(xn)≤lim inf⁡n∥xn∥.\|x\|=\lim_n f_0(x_n)\le\liminf_n\|x_n\|.

(3)​

(2) と仮定より ∥xn∥→∥x∥=:r\|x_n\|\to\|x\|=:r である。r=0r=0 なら直ちに強収束するので、以下 r>0r>0 とする。十分大きい nn について

yn=xn∥xn∥,y=xry_n=\frac{x_n}{\|x_n\|},\qquad y=\frac{x}{r}

とおけば、yn⇀yy_n\rightharpoonup y かつ ∥yn∥=∥y∥=1\|y_n\|=\|y\|=1 である。yny_n が yy に強収束しなければ、ある ε0>0\varepsilon_0>0 と部分列について ∥ynj−y∥≥ε0\|y_{n_j}-y\|\ge\varepsilon_0 となる。条件 (∗)(*) を ε0/2\varepsilon_0/2 に適用すると、この部分列に共通な δ>0\delta>0 が存在して

∥ynj+y2∥≤1−δ.\left\|\frac{y_{n_j}+y}{2}\right\|\le1-\delta.

一方、(ynj+y)/2⇀y(y_{n_j}+y)/2\rightharpoonup y なので、(2) により

1=∥y∥≤lim inf⁡j∥ynj+y2∥≤1−δ,1=\|y\|\le\liminf_j\left\|\frac{y_{n_j}+y}{2}\right\|\le1-\delta,

となって矛盾する。従って yn→yy_n\to y であり、

∥xn−x∥≤∥xn∥ ∥yn−y∥+∣∥xn∥−r∣⟶0.\|x_n-x\|\le\|x_n\|\,\|y_n-y\|+|\|x_n\|-r|\longrightarrow0.

Reference​

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