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東北大学 理学研究科 数学専攻 2024年8月実施 選択問題 [5]

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Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は8題ある。3題を選択して解答すること。

mm は閉区間 I=[0,1]I=[0,1] 上のルベーグ測度とし、II のルベーグ可測部分集合の列 {An}n=1∞\{A_n\}_{n=1}^\infty は、

lim⁡n→∞m(An)=0\lim_{n\to\infty}m(A_n)=0

を満たすとする。また、II の部分集合 AA が与えられたとき、

χA(x)={1(x∈A),0(x∈I∖A)\chi_A(x)=\begin{cases}1&(x\in A),\\0&(x\in I\setminus A)\end{cases}

とおく。以下の問いに答えよ。

(1) 次の2つの条件 (i), (ii) を満たす II のルベーグ可測部分集合の列 {Bn}n=1∞\{B_n\}_{n=1}^\infty の例をあげよ。

(i) lim⁡n→∞m(Bn)=0\lim_{n\to\infty}m(B_n)=0。

(ii) 「II の上で mm に関してほとんど至るところ lim⁡n→∞χBn(x)=0\lim_{n\to\infty}\chi_{B_n}(x)=0」は成り立たない。

(2) ルベーグ可測関数 f:I→Rf:I\to\mathbb R は ∫I∣f(x)∣m(dx)<∞\int_I|f(x)|m(dx)<\infty を満たすとする。このとき、

lim⁡n→∞∫An∣f(x)∣m(dx)=0\lim_{n\to\infty}\int_{A_n}|f(x)|m(dx)=0

が成り立つことを示せ。

(3) II 上の実数値ルベーグ可測関数 gg と II 上の実数値ルベーグ可測関数の列 {gk}k=1∞\{g_k\}_{k=1}^\infty は次の (a), (b) を満たすとする。

(a) ∫I∣g(x)∣m(dx)<∞\int_I|g(x)|m(dx)<\infty かつ任意の k∈Z>0k\in\mathbb Z_{>0} に対して ∫I∣gk(x)∣m(dx)<∞\int_I|g_k(x)|m(dx)<\infty。

(b) lim⁡k→∞∫I∣gk(x)−g(x)∣m(dx)=0\lim_{k\to\infty}\int_I|g_k(x)-g(x)|m(dx)=0。

このとき、

lim⁡n→∞sup⁡k∈Z>0∫An∣gk(x)∣m(dx)=0\lim_{n\to\infty}\sup_{k\in\mathbb Z_{>0}}\int_{A_n}|g_k(x)|m(dx)=0

が成り立つことを示せ。

题目描述​

试卷共8题，选择其中3题作答。

设 mm 为闭区间 I=[0,1]I=[0,1] 上的勒贝格测度，可测子集列 {An}n=1∞\{A_n\}_{n=1}^\infty 满足 m(An)→0m(A_n)\to0。对 A⊂IA\subset I，定义示性函数

χA(x)={1(x∈A),0(x∈I∖A).\chi_A(x)=\begin{cases}1&(x\in A),\\0&(x\in I\setminus A). \end{cases}

回答下列问题。Z>0\mathbb Z_{>0} 表示正整数集合。

(1) 举出可测子集列 {Bn}n=1∞\{B_n\}_{n=1}^\infty，同时满足：

(i) m(Bn)→0m(B_n)\to0；

(ii) “χBn(x)→0\chi_{B_n}(x)\to0 在 II 上关于 mm 几乎处处成立”这一命题不成立。

(2) 设可测函数 f:I→Rf:I\to\mathbb R 满足 ∫I∣f(x)∣m(dx)<∞\int_I|f(x)|m(dx)<\infty。证明

lim⁡n→∞∫An∣f(x)∣m(dx)=0.\lim_{n\to\infty}\int_{A_n}|f(x)|m(dx)=0.

(3) 设 II 上的实值可测函数 gg 及实值可测函数列 {gk}k=1∞\{g_k\}_{k=1}^\infty 满足：

(a) ∫I∣g(x)∣m(dx)<∞\int_I|g(x)|m(dx)<\infty，且每个正整数 kk 都满足 ∫I∣gk(x)∣m(dx)<∞\int_I|g_k(x)|m(dx)<\infty；

(b) lim⁡k→∞∫I∣gk(x)−g(x)∣m(dx)=0\lim_{k\to\infty}\int_I|g_k(x)-g(x)|m(dx)=0。

证明

lim⁡n→∞sup⁡k∈Z>0∫An∣gk(x)∣m(dx)=0.\lim_{n\to\infty}\sup_{k\in\mathbb Z_{>0}}\int_{A_n}|g_k(x)|m(dx)=0.

Kai​

(1)​

n=2j+ln=2^j+l（j≥0j\ge0, 0≤l<2j0\le l<2^j）と一意に表し、

Bn=I∩[l2j,l+12j)B_n=I\cap\left[\frac{l}{2^j},\frac{l+1}{2^j}\right)

とおく。m(Bn)=2−j→0m(B_n)=2^{-j}\to0 である。一方、各 x∈[0,1)x\in[0,1) は各段階 jj でちょうど一つの区間に属するので、χBn(x)=1\chi_{B_n}(x)=1 となる nn が無限個ある。従って χBn(x)\chi_{B_n}(x) は 00 に収束しない。端点 11 の有無は零集合の違いにすぎず、(ii) も満たす。

(2)​

f∈L1(I)f\in L^1(I) なので ∣f∣|f| はほとんど至る所有限であり、優収束定理から

lim⁡M→∞∫{∣f∣>M}∣f∣ dm=0.\lim_{M\to\infty}\int_{\{|f|>M\}}|f|\,dm=0.

任意の ε>0\varepsilon>0 に対し、この積分が ε/2\varepsilon/2 未満となる M>0M>0 を固定する。すると

∫An∣f∣ dm≤Mm(An)+∫{∣f∣>M}∣f∣ dm<ε\int_{A_n}|f|\,dm \le M m(A_n)+\int_{\{|f|>M\}}|f|\,dm<\varepsilon

が十分大きい nn について成立する。

(3)​

ε>0\varepsilon>0 をとる。gk→gg_k\to g が L1L^1 収束するので、ある K≥2K\ge2 に対し k≥Kk\ge K ならば ∥gk−g∥1<ε/2\|g_k-g\|_1<\varepsilon/2 である。このとき

sup⁡k≥K∫An∣gk∣ dm≤ε2+∫An∣g∣ dm.\sup_{k\ge K}\int_{A_n}|g_k|\,dm \le\frac{\varepsilon}{2}+\int_{A_n}|g|\,dm.

(2) を g,g1,…,gK−1g,g_1,\ldots,g_{K-1} に適用すると、十分大きい nn では

∫An∣g∣ dm<ε2,max⁡1≤k<K∫An∣gk∣ dm<ε.\int_{A_n}|g|\,dm<\frac{\varepsilon}{2},\qquad \max_{1\le k<K}\int_{A_n}|g_k|\,dm<\varepsilon.

従って sup⁡k≥1∫An∣gk∣ dm<ε\sup_{k\ge1}\int_{A_n}|g_k|\,dm<\varepsilon となり、所望の極限が得られる。

Reference​

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