東北大学理学研究科数学専攻 2024年8月実施選択問題 [4]

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祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

問題は $8$ 題ある。 $3$ 題を選択して解答すること。

$6$ 次元ユークリッド空間 $\mathbb R^6$ の標準内積を $\langle\cdot,\cdot\rangle$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) $\mathbb R^6$ の部分空間 $X$ を

X=\{v\in\mathbb R^6\mid\langle v,v\rangle=1\}

と定める。 $X$ は $\mathbb R^6$ の $C^\infty$ 部分多様体であるかどうか、理由とともに答えよ。

(2) 直積空間 $\mathbb R^6\times\mathbb R^6$ の部分空間 $Y$ を

Y=\{(v_1,v_2)\in\mathbb R^6\times\mathbb R^6\mid \langle v_1,v_1\rangle=1,\ \langle v_2,v_2\rangle=1,\ \langle v_1,v_2\rangle=0\}

と定める。 $Y$ は $\mathbb R^6\times\mathbb R^6$ の $C^\infty$ 部分多様体であるかどうか、理由とともに答えよ。

本卷共 $8$ 道题，请选择其中 $3$ 道作答。

用 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ 表示六维欧氏空间 $\mathbb R^6$ 的标准内积。回答下列问题。

(1) 定义 $\mathbb R^6$ 的子空间

X=\{v\in\mathbb R^6\mid\langle v,v\rangle=1\}.

判断 $X$ 是否为 $\mathbb R^6$ 的 $C^\infty$ 子流形，并说明理由。

(2) 定义直积空间 $\mathbb R^6\times\mathbb R^6$ 的子空间

Y=\{(v_1,v_2)\in\mathbb R^6\times\mathbb R^6\mid \langle v_1,v_1\rangle=1,\ \langle v_2,v_2\rangle=1,\ \langle v_1,v_2\rangle=0\}.

判断 $Y$ 是否为 $\mathbb R^6\times\mathbb R^6$ 的 $C^\infty$ 子流形，并说明理由。

$X$ は $5$ 次元の $C^\infty$ 部分多様体である。

$F:\mathbb R^6\to\mathbb R$ を $F(v)=\langle v,v\rangle$ とおくと、 $X=F^{-1}(1)$ である。 $v\in X$ に対して

dF_v(h)=2\langle v,h\rangle,\qquad dF_v(v)=2

だから $dF_v$ は全射である。したがって $1$ は $F$ の正則値であり、正則値定理より結論を得る。

$Y$ は $9$ 次元の $C^\infty$ 部分多様体である。

滑らかな写像 $G:\mathbb R^6\times\mathbb R^6\to\mathbb R^3$ を

G(v_1,v_2)=\bigl(\langle v_1,v_1\rangle,\langle v_2,v_2\rangle, \langle v_1,v_2\rangle\bigr)

とおく。 $Y=G^{-1}(1,1,0)$ であり、ヤコビ行列の三つの行は

(2v_1^T,0),\qquad(0,2v_2^T),\qquad(v_2^T,v_1^T)

である。これらの係数を $a,b,c\in\mathbb R$ とする線形結合が零ならば

2av_1+cv_2=0,\qquad 2bv_2+cv_1=0.

第 $1$ 式と $v_1,v_2$ との内積から、それぞれ $2a=0,c=0$ を得る。第 $2$ 式から $b=0$ も従う。よって三つの行は一次独立であり、 $dG$ の階数は $3$ である。

したがって $(1,1,0)$ は正則値である。 $Y$ は例えば標準基底の組 $(e_1,e_2)$ を含むので空でなく、正則値定理よりその次元は $12-3=9$ となる。