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東北大学 大学院理学研究科 数学専攻 2024年8月実施 共通問題 問題4

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Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は4題ある．全問に解答すること．

実数 a,ba,b は a<ba<b を満たすとする．関数 f:[a,b]→Rf:[a,b]\to\mathbb{R} について，ff が半開区間 [a,b)[a,b) で右微分可能であるとは，すべての x∈[a,b)x\in[a,b) において，右極限

f+′(x)=lim⁡δ>0δ→0f(x+δ)−f(x)δf'_+(x)=\lim_{\substack{\delta>0\\\delta\to0}} \frac{f(x+\delta)-f(x)}{\delta}

が実数の値として存在することを意味する．ff が半開区間 (a,b](a,b] で左微分可能であるとは，すべての x∈(a,b]x\in(a,b] において，左極限

f−′(x)=lim⁡δ<0δ→0f(x+δ)−f(x)δf'_-(x)=\lim_{\substack{\delta<0\\\delta\to0}} \frac{f(x+\delta)-f(x)}{\delta}

が実数の値として存在することを意味する．以下の問いに答えよ．

(1) 関数 f:[a,b]→Rf:[a,b]\to\mathbb{R} は連続であり，半開区間 [a,b)[a,b) 上で右微分可能とする．ある実数 m,Mm,M が存在し，任意の x∈[a,b)x\in[a,b) に対して m≤f+′(x)≤Mm\le f'_+(x)\le M が成り立つとする．さらに，関数 h:[a,b]→Rh:[a,b]\to\mathbb{R} を次で定義する．

h(x)={f(x)−f(a)x−a(x≠a),f+′(a)(x=a).h(x)=\begin{cases} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}&(x\ne a),\\ f'_+(a)&(x=a). \end{cases}

任意の正の実数 ε\varepsilon をとり，

A={x∈[a,b]∣任意の y∈[a,x] に対して m−ε≤h(y)≤M+ε}A=\{x\in[a,b]\mid\text{任意の }y\in[a,x]\text{ に対して }m-\varepsilon\le h(y)\le M+\varepsilon\}

とおく．sup⁡A>a\sup A>a を示せ．

(2) (1) の AA に対して，sup⁡A=b\sup A=b を示せ．

(3) 関数 g:[0,1]→Rg:[0,1]\to\mathbb{R} は連続であり，半開区間 [0,1)[0,1) 上で右微分可能とする．また導関数 g+′g'_+ は半開区間 [0,1)[0,1) で有界であり，点 x0∈(0,1)x_0\in(0,1) で連続とする．このとき，gg は x0x_0 で微分可能であることを示せ．

题目描述​

本卷共有4题，全部作答。

设实数 a<ba<b。对函数 f:[a,b]→Rf:[a,b]\to\mathbb{R}，称 ff 在半开区间 [a,b)[a,b) 上右可微，是指对每个 x∈[a,b)x\in[a,b)，右极限

f+′(x)=lim⁡δ>0δ→0f(x+δ)−f(x)δf'_+(x)=\lim_{\substack{\delta>0\\\delta\to0}} \frac{f(x+\delta)-f(x)}{\delta}

存在且为实数。称 ff 在半开区间 (a,b](a,b] 上左可微，是指对每个 x∈(a,b]x\in(a,b]，左极限

f−′(x)=lim⁡δ<0δ→0f(x+δ)−f(x)δf'_-(x)=\lim_{\substack{\delta<0\\\delta\to0}} \frac{f(x+\delta)-f(x)}{\delta}

存在且为实数。回答下列问题。

(1) 设 f:[a,b]→Rf:[a,b]\to\mathbb{R} 连续，并在 [a,b)[a,b) 上右可微。存在实数 m,Mm,M，使每个 x∈[a,b)x\in[a,b) 都满足 m≤f+′(x)≤Mm\le f'_+(x)\le M。定义 h:[a,b]→Rh:[a,b]\to\mathbb{R} 为

h(x)={f(x)−f(a)x−a(x≠a),f+′(a)(x=a).h(x)=\begin{cases} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}&(x\ne a),\\ f'_+(a)&(x=a). \end{cases}

任取 ε>0\varepsilon>0，令

A={x∈[a,b]∣对任意 y∈[a,x], m−ε≤h(y)≤M+ε}.A=\{x\in[a,b]\mid\text{对任意 }y\in[a,x],\ m-\varepsilon\le h(y)\le M+\varepsilon\}.

证明 sup⁡A>a\sup A>a。

(2) 对第 (1) 问中的集合 AA，证明 sup⁡A=b\sup A=b。

(3) 设 g:[0,1]→Rg:[0,1]\to\mathbb{R} 连续，在 [0,1)[0,1) 上右可微，且右导函数 g+′g'_+ 在 [0,1)[0,1) 上有界，在 x0∈(0,1)x_0\in(0,1) 处连续。证明 gg 在 x0x_0 处可微。

Kai​

(1)​

右微分の定義から lim⁡x↓ah(x)=f+′(a)=h(a)\lim_{x\downarrow a}h(x)=f'_+(a)=h(a) であり，hh は [a,b][a,b] 上で連続である．また m≤h(a)≤Mm\le h(a)\le M．したがって，ある η∈(0,b−a)\eta\in(0,b-a) をとれば a≤y≤a+ηa\le y\le a+\eta で

m−ε<h(y)<M+ε.m-\varepsilon<h(y)<M+\varepsilon.

よって a+η∈Aa+\eta\in A であり，sup⁡A>a\sup A>a となる．

(2)​

c=sup⁡Ac=\sup A とおく．任意の y<cy<c に対して，y<x≤cy<x\le c を満たす x∈Ax\in A があるので m−ε≤h(y)≤M+εm-\varepsilon\le h(y)\le M+\varepsilon．hh の連続性から同じ不等式は y=cy=c でも成り立ち，c∈Ac\in A である．

c<bc<b と仮定する．ff の cc における右微分可能性と m≤f+′(c)≤Mm\le f'_+(c)\le M より，ある η∈(0,b−c)\eta\in(0,b-c) が存在し，c<y≤c+ηc<y\le c+\eta で

m−ε2≤f(y)−f(c)y−c≤M+ε2.m-\frac{\varepsilon}{2} \le \frac{f(y)-f(c)}{y-c} \le M+\frac{\varepsilon}{2}.

一方，c>ac>a なので

h(y)=y−cy−af(y)−f(c)y−c+c−ay−ah(c).h(y)=\frac{y-c}{y-a}\frac{f(y)-f(c)}{y-c} +\frac{c-a}{y-a}h(c).

これは二つの差商の凸結合であり，両方が [m−ε,M+ε][m-\varepsilon,M+\varepsilon] に属するから，h(y)h(y) も同区間に属する．したがって c+η∈Ac+\eta\in A となり，c=sup⁡Ac=\sup A に矛盾する．ゆえに sup⁡A=b\sup A=b．

さらに hh の連続性から b∈Ab\in A である．ε↓0\varepsilon\downarrow0 として

m≤f(b)−f(a)b−a≤M(*)m\le\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\le M \tag{*}

も得られる．この不等式は通常の微分可能性を仮定せずに成り立つ．

(3)​

L=g+′(x0)L=g'_+(x_0) とおく．任意の ε>0\varepsilon>0 に対し，g+′g'_+ の x0x_0 での連続性より，ある 0<η<min⁡(x0,1−x0)0<\eta<\min(x_0,1-x_0) が存在して

L−ε≤g+′(t)≤L+ε(x0−η<t<x0).L-\varepsilon\le g'_+(t)\le L+\varepsilon \qquad(x_0-\eta<t<x_0).

x0−η<x<x0x_0-\eta<x<x_0 に対し，区間 [x,x0][x,x_0] で (*) を適用すると

L−ε≤g(x0)−g(x)x0−x≤L+ε.L-\varepsilon\le\frac{g(x_0)-g(x)}{x_0-x}\le L+\varepsilon.

よって g−′(x0)g'_-(x_0) が存在して LL に等しい．右微分係数も LL なので，gg は x0x_0 で微分可能で，g′(x0)=Lg'(x_0)=L である．

Reference​

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