東北大学 大学院理学研究科 数学専攻 2024年8月実施 共通問題 問題3

标签：

• 东北大学
• 无穷级数
• 数列收敛
• 反常积分

Author

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

問題は4題ある．全問に解答すること．

以下の問いに答えよ．ただし，$\mathbb{Z}_{>0}$ は正の整数全体のなす集合を表す．

(1) $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ は正の実数からなる数列とし，$a_n\ge a_{n+1}$ $(n=1,2,\ldots)$ かつ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n<\infty$ を満たすとする．このとき，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}na_n=0$ が成り立つことを示せ．

(2) $n\in\mathbb{Z}_{>0}$ に対して，$a_n=\dfrac{1}{(n+1)\log(n+1)}$ で与えられる $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ は，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}na_n=0$ を満たすことを示せ．また，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\infty$ であることを示せ．

题目描述

本卷共有4题，全部作答。

回答下列问题，其中 $\mathbb{Z}_{>0}$ 表示正整数集合。

(1) 正实数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ 满足 $a_n\ge a_{n+1}$ $(n=1,2,\ldots)$ 以及 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n<\infty$。证明 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}na_n=0$。

(2) 对 $n\in\mathbb{Z}_{>0}$，令 $a_n=\dfrac{1}{(n+1)\log(n+1)}$。证明 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}na_n=0$，并证明 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\infty$。

Kai

(1)

$m=\lfloor n/2\rfloor$ とする．単調性と $n-m\ge n/2$ より

$$0<na_n\le2(n-m)a_n\le2\sum_{k=m+1}^{n}a_k.$$

収束級数の末尾の和は $m\to\infty$ とともに $0$ に収束するので，はさみうちにより $na_n\to0$．

(2)

$$na_n=\frac{n}{n+1}\frac1{\log(n+1)}\longrightarrow0.$$

一方，$x\mapsto((x+1)\log(x+1))^{-1}$ は $x\ge1$ で正かつ単調減少である．積分判定法により

$$\int_1^R\frac{dx}{(x+1)\log(x+1)} =\log\log(R+1)-\log\log2\longrightarrow\infty$$

なので，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\infty$ となる．

Reference

• 東北大学公式問題（2025年度・共通問題，第3ページ）
• L^2：2025年度 共通問題・微積分 1