跳到主要内容

東北大学 理学研究科 数学専攻 2024年8月実施 共通問題 [2]

标签：

Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は 44 題ある。全問に解答すること。

R\mathbb R のユークリッド位相の開集合系を OR\mathcal O_{\mathbb R} とおく。閉区間 I=[0,1]I=[0,1] の部分集合族 W\mathcal W と W′\mathcal W' をそれぞれ

W={V∈OR∣V⊂(0,1)},W′={V∪{0,1}∣V∈W}\mathcal W=\{V\in\mathcal O_{\mathbb R}\mid V\subset(0,1)\},\qquad \mathcal W'=\{V\cup\{0,1\}\mid V\in\mathcal W\}

とおき、II の部分集合族 O\mathcal O を O=W∪W′\mathcal O=\mathcal W\cup\mathcal W' とおく。以下の問いに答えよ。

(1) (I,O)(I,\mathcal O) は位相空間となることを示せ。

(2) 位相空間 (I,O)(I,\mathcal O) はハウスドルフ空間であるかどうか、理由とともに答えよ。

(3) 写像 f:(I,O)→(I,O)f:(I,\mathcal O)\to(I,\mathcal O)、f(x)=−4x2+4xf(x)=-4x^2+4x は連続写像であるかどうか、理由とともに答えよ。

(4) 写像 g:(I,O)→(I,O)g:(I,\mathcal O)\to(I,\mathcal O)、g(x)=x2g(x)=x^2 は連続写像であるかどうか、理由とともに答えよ。

题目描述​

试卷共 44 道题，全部作答。

设 OR\mathcal O_{\mathbb R} 为 R\mathbb R 的欧几里得拓扑的开集族。对闭区间 I=[0,1]I=[0,1]，定义其子集族

W={V∈OR∣V⊂(0,1)},W′={V∪{0,1}∣V∈W},\mathcal W=\{V\in\mathcal O_{\mathbb R}\mid V\subset(0,1)\},\qquad \mathcal W'=\{V\cup\{0,1\}\mid V\in\mathcal W\},

并令 O=W∪W′\mathcal O=\mathcal W\cup\mathcal W'。回答下列问题。

(1) 证明 (I,O)(I,\mathcal O) 是拓扑空间。

(2) 判断 (I,O)(I,\mathcal O) 是否为豪斯多夫空间，并说明理由。

(3) 判断映射 f:(I,O)→(I,O)f:(I,\mathcal O)\to(I,\mathcal O)、f(x)=−4x2+4xf(x)=-4x^2+4x 是否连续，并说明理由。

(4) 判断映射 g:(I,O)→(I,O)g:(I,\mathcal O)\to(I,\mathcal O)、g(x)=x2g(x)=x^2 是否连续，并说明理由。

Kai​

(1)​

E={0,1}E=\{0,1\} とおく。W\mathcal W は (0,1)(0,1) の通常の開集合全体であるから、任意の和と有限個の共通部分で閉じている。O\mathcal O の各元は一意的に

VまたはV∪E(V∈W)V\quad\text{または}\quad V\cup E\qquad(V\in\mathcal W)

と書ける。∅∈W\varnothing\in\mathcal W、I=(0,1)∪E∈W′I=(0,1)\cup E\in\mathcal W' である。

任意の和は、内部部分の和に、少なくとも一つの集合が EE を含めば EE を加えた集合となるので O\mathcal O に属する。有限個の共通部分も、内部部分の共通部分に、全ての集合が EE を含む場合だけ EE を加えた集合となるので O\mathcal O に属する。よって O\mathcal O は II 上の位相である。

(2)​

ハウスドルフではない。00 を含む開集合は必ず 11 も含むので、異なる二点 0,10,1 を互いに交わらない開近傍で分離できない。

(3)​

連続ではない。E=∅∪E∈W′E=\varnothing\cup E\in\mathcal W' は開集合であるが、

f−1(E)={0,12,1}.f^{-1}(E)=\left\{0,\frac12,1\right\}.

この集合の (0,1)(0,1) との共通部分 {1/2}\{1/2\} は通常の開集合でないので、f−1(E)∉Of^{-1}(E)\notin\mathcal O である。

(4)​

連続である。V∈WV\in\mathcal W に対して、g(x)=x2g(x)=x^2 は通常の位相で連続であり、g−1(V)⊂(0,1)g^{-1}(V)\subset(0,1) なので g−1(V)∈Wg^{-1}(V)\in\mathcal W である。また

g−1(V∪E)=g−1(V)∪E∈W′.g^{-1}(V\cup E)=g^{-1}(V)\cup E\in\mathcal W'.

したがって O\mathcal O の任意の開集合の逆像は開集合である。

Reference​

本页目录