東北大学理学研究科数学専攻 2024年8月実施共通問題 [1]

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祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

問題は $4$ 題ある。全問に解答すること。

$n$ は正の整数とし、 $M_n(\mathbb R)$ で $n$ 次実正方行列全体のなす実ベクトル空間を表す。 $A\in M_n(\mathbb R)$ に対し、

Z(A)=\{X\in M_n(\mathbb R)\mid AX=XA\}

とおく。以下の問いに答えよ。

(1) 任意の $A\in M_n(\mathbb R)$ に対し、 $Z(A)$ は $M_n(\mathbb R)$ の部分ベクトル空間であることを示せ。

(2) $n=2$ 、 $A=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$ のとき、 $Z(A)$ の次元を求めよ。

(3) $A\in M_n(\mathbb R)$ が相異なる $n$ 個の実固有値を持つとき、 $Z(A)$ の次元を求めよ。

试卷共 $4$ 道题，全部作答。

设 $n$ 为正整数， $M_n(\mathbb R)$ 表示全体 $n$ 阶实方阵构成的实向量空间。对 $A\in M_n(\mathbb R)$ ，令

Z(A)=\{X\in M_n(\mathbb R)\mid AX=XA\}.

回答下列问题。

(1) 证明对任意 $A\in M_n(\mathbb R)$ ， $Z(A)$ 都是 $M_n(\mathbb R)$ 的向量子空间。

(2) 当 $n=2$ 、 $A=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$ 时，求 $Z(A)$ 的维数。

(3) 当 $A\in M_n(\mathbb R)$ 有 $n$ 个互不相同的实特征值时，求 $Z(A)$ 的维数。

$O\in Z(A)$ である。また $X,Y\in Z(A)$ 、 $s,t\in\mathbb R$ に対して

A(sX+tY)=sAX+tAY=sXA+tYA=(sX+tY)A.

よって $Z(A)$ は $M_n(\mathbb R)$ の部分空間である。

$X=\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}$ とおくと

AX-XA=\begin{pmatrix}0&-y\\z&0\end{pmatrix}.

したがって $Z(A)$ は全ての実対角行列からなり、

Z(A)=\mathbb R\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} \oplus\mathbb R\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix},\qquad \dim Z(A)=2.

相異なる実固有値を $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ とする。ある $P\in\mathrm{GL}_n(\mathbb R)$ により

P^{-1}AP=D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)

と対角化できる。写像 $X\mapsto P^{-1}XP$ は $Z(A)$ から $Z(D)$ への線形同型である。 $Y=(y_{ij})$ に対し

DY=YD\iff (\lambda_i-\lambda_j)y_{ij}=0\quad(1\le i,j\le n).

固有値が相異なるので、これは $Y$ が対角行列であることと同値である。ゆえに

\dim Z(A)=\dim Z(D)=n.