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東北大学 理学研究科 数学専攻 2023年8月実施 選択問題 [6]

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Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は8題ある。3題を選択して解答すること。

関数空間 X=C([0,1])={u:[0,1]→R∣u は [0,1] 上の連続関数}X=C([0,1])=\{u:[0,1]\to\mathbb R\mid u\text{ は }[0,1]\text{ 上の連続関数}\} のノルムを ∥u∥X=max⁡x∈[0,1]∣u(x)∣\|u\|_X=\max_{x\in[0,1]}|u(x)|（u∈Xu\in X）と定めることで与えられる実バナッハ空間 (X,∥⋅∥X)(X,\|\cdot\|_X) を考える。さらに K:[0,1]×[0,1]→RK:[0,1]\times[0,1]\to\mathbb R を連続関数とする。XX 上の有界線形作用素 T:X→XT:X\to X を

(Tu)(x)=∫0xK(x,y)u(y) dy(u∈X, x∈[0,1])(Tu)(x)=\int_0^x K(x,y)u(y)\,dy\qquad(u\in X,\ x\in[0,1])

によって定める。以下の問いに答えよ。

(1) 任意の正の整数 nn に対して、次の不等式が成り立つことを示せ。

∣(Tnu)(x)∣≤Mnxnn!∥u∥X(u∈X, x∈[0,1])|(T^nu)(x)|\le M^n\frac{x^n}{n!}\|u\|_X\qquad(u\in X,\ x\in[0,1])

ただし M=max⁡{∣K(x,y)∣∣(x,y)∈[0,1]×[0,1]}M=\max\{|K(x,y)|\mid(x,y)\in[0,1]\times[0,1]\} とする。

(2) XX 上の有界線形作用素全体からなる線形空間 B(X)\mathcal B(X) のノルムを

∥F∥=sup⁡{∥Fu∥X∣u∈X, ∥u∥X≤1}(F∈B(X))\|F\|=\sup\{\|Fu\|_X\mid u\in X,\ \|u\|_X\le1\}\qquad(F\in\mathcal B(X))

と定めることで与えられる実バナッハ空間 (B(X),∥⋅∥)(\mathcal B(X),\|\cdot\|) を考える。このとき、級数

S=∑n=0∞Tn=lim⁡N→∞∑n=0NTnS=\sum_{n=0}^\infty T^n=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^NT^n

が B(X)\mathcal B(X) 上で収束することを示せ。ただし T0=IT^0=I は XX 上の恒等作用素を表すものとする。

(3) SS を (2) で与えた XX 上の有界線形作用素とする。このとき、任意の f∈Xf\in X に対して、u=Sf=∑n=0∞Tnfu=Sf=\sum_{n=0}^\infty T^nf は、条件

u−Tu=fu-Tu=f

を満たすただ一つの XX の元であることを示せ。

题目描述​

试卷共8题，选择其中3题作答。

在连续实函数空间

X=C([0,1])={u:[0,1]→R∣u 连续}X=C([0,1])=\{u:[0,1]\to\mathbb R\mid u\text{ 连续}\}

上定义范数 ∥u∥X=max⁡x∈[0,1]∣u(x)∣\|u\|_X=\max_{x\in[0,1]}|u(x)|，得到实巴拿赫空间 (X,∥⋅∥X)(X,\|\cdot\|_X)。设 K:[0,1]2→RK:[0,1]^2\to\mathbb R 连续，定义有界线性算子 T:X→XT:X\to X：

(Tu)(x)=∫0xK(x,y)u(y) dy(u∈X, x∈[0,1]).(Tu)(x)=\int_0^xK(x,y)u(y)\,dy\qquad(u\in X,\ x\in[0,1]).

(1) 证明对任意正整数 nn、u∈Xu\in X 和 x∈[0,1]x\in[0,1]，均有

∣(Tnu)(x)∣≤Mnxnn!∥u∥X,M=max⁡(x,y)∈[0,1]2∣K(x,y)∣.|(T^nu)(x)|\le M^n\frac{x^n}{n!}\|u\|_X, \qquad M=\max_{(x,y)\in[0,1]^2}|K(x,y)|.

(2) 在所有有界线性算子组成的空间 B(X)\mathcal B(X) 上定义范数

∥F∥=sup⁡{∥Fu∥X∣u∈X, ∥u∥X≤1}.\|F\|=\sup\{\|Fu\|_X\mid u\in X,\ \|u\|_X\le1\}.

这给出实巴拿赫空间 (B(X),∥⋅∥)(\mathcal B(X),\|\cdot\|)。证明级数

S=∑n=0∞Tn=lim⁡N→∞∑n=0NTnS=\sum_{n=0}^\infty T^n=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^NT^n

在该空间中收敛，其中 T0=IT^0=I 为恒等算子。

(3) 设 SS 为 (2) 得到的有界线性算子。证明对每个 f∈Xf\in X，u=Sf=∑n=0∞Tnfu=Sf=\sum_{n=0}^\infty T^nf 是 XX 中满足 u−Tu=fu-Tu=f 的唯一元素。

Kai​

(1)​

n=1n=1 では ∣(Tu)(x)∣≤∫0xM∥u∥X dy=Mx∥u∥X|(Tu)(x)|\le\int_0^x M\|u\|_X\,dy=Mx\|u\|_X である。nn に対して主張が成り立つとすると、

∣(Tn+1u)(x)∣≤∫0xMMnynn!∥u∥X dy=Mn+1xn+1(n+1)!∥u∥X.\begin{aligned} |(T^{n+1}u)(x)| &\le\int_0^x M\frac{M^n y^n}{n!}\|u\|_X\,dy\\ &=\frac{M^{n+1}x^{n+1}}{(n+1)!}\|u\|_X. \end{aligned}

よって数学的帰納法により全ての n≥1n\ge1 で成り立つ。

(2)​

0≤x≤10\le x\le1 だから (1) より ∥Tn∥≤Mn/n!\|T^n\|\le M^n/n! となる。従って

∑n=0∞∥Tn∥≤∑n=0∞Mnn!=eM<∞.\sum_{n=0}^{\infty}\|T^n\|\le\sum_{n=0}^{\infty}\frac{M^n}{n!}=e^M<\infty.

B(X)\mathcal B(X) の完備性により、S=∑n=0∞TnS=\sum_{n=0}^\infty T^n は作用素ノルムで収束する。

(3)​

SN=∑n=0NTnS_N=\sum_{n=0}^NT^n とすると

(I−T)SN=SN(I−T)=I−TN+1.(I-T)S_N=S_N(I-T)=I-T^{N+1}.

∥TN+1∥→0\|T^{N+1}\|\to0 なので、作用素ノルムの極限をとれば (I−T)S=S(I−T)=I(I-T)S=S(I-T)=I を得る。従って任意の f∈Xf\in X に対して唯一の解は

u=Sf=∑n=0∞Tnfu=Sf=\sum_{n=0}^{\infty}T^nf

である。

Reference​

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