東北大学理学研究科数学専攻 2023年8月実施選択問題 [5]

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祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

問題は8題ある。3題を選択して解答すること。

正の整数 $n$ と $k=1,\ldots,2^n-1$ に対して

a_{n,k}=\frac{k}{2^n}

とおき、 $\mathbb R$ の開区間 $I=(0,1)$ 上の関数 $f_{n,k}:I\to\mathbb R$ を

f_{n,k}(x)=\begin{cases}\dfrac1{\sqrt{a_{n,k}-x}}&(0<x<a_{n,k}),\\0&(a_{n,k}\le x<1) \end{cases}

と定める。また $m$ を $\mathbb R$ におけるルベーグ測度とする。以下の問いに答えよ。

(1) 正の整数 $n$ と $k=1,\ldots,2^n-1$ に対して関数 $f_{n,k}$ は $I$ 上のルベーグ可測関数であることを示せ。さらにルベーグ積分 $\int_I f_{n,k}(x)m(dx)$ の値を求めよ。

(2) 正の整数 $n$ に対して

\sum_{k=1}^{2^n-1}\sqrt{k}\le2^{\frac32n}

が成り立つことを示せ。

(3) $I$ 上の関数 $f$ を

f(x)=\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^{2^n-1}\frac{f_{n,k}(x)}{2^{2n}}\qquad(x\in I)

と定めると、 $f$ は $I$ 上でほとんどいたるところ有限な値をとることを示せ。

试卷共8题，选择其中3题作答。

对正整数 $n$ 及 $k=1,\ldots,2^n-1$ ，令 $a_{n,k}=k/2^n$ ，并在实数开区间 $I=(0,1)$ 上定义函数 $f_{n,k}:I\to\mathbb R$ ：

f_{n,k}(x)=\begin{cases}\dfrac1{\sqrt{a_{n,k}-x}}&(0<x<a_{n,k}),\\0&(a_{n,k}\le x<1). \end{cases}

设 $m$ 为实数轴上的勒贝格测度，回答下列问题。

(1) 证明每个 $f_{n,k}$ 都是 $I$ 上的勒贝格可测函数，并求 $\int_I f_{n,k}(x)m(dx)$ 。

(2) 证明每个正整数 $n$ 都满足

\sum_{k=1}^{2^n-1}\sqrt{k}\le2^{3n/2}.

(3) 在 $I$ 上定义

f(x)=\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^{2^n-1}\frac{f_{n,k}(x)}{2^{2n}}.

证明 $f$ 在 $I$ 上几乎处处取有限值。

$f_{n,k}$ は可測集合 $(0,a_{n,k})$ 上の連続関数 $(a_{n,k}-x)^{-1/2}$ と、その補集合上の零関数をつなげた非負可測関数である。また、

\int_I f_{n,k}\,dm =\int_0^{a_{n,k}}\frac{dx}{\sqrt{a_{n,k}-x}} =2\sqrt{a_{n,k}}=2\sqrt{\frac{k}{2^n}}.

$\sqrt{x}$ の単調性から、

\sum_{k=1}^{2^n-1}\sqrt{k} \le\int_1^{2^n}\sqrt{x}\,dx =\frac23\bigl(2^{3n/2}-1\bigr) \le2^{3n/2}.

非負可測関数の部分和に単調収束定理を適用し、(1), (2) を用いると、

\begin{aligned} \int_I f\,dm &=\sum_{n=1}^{\infty}2^{-2n}\sum_{k=1}^{2^n-1}2\sqrt{\frac{k}{2^n}}\\ &\le\sum_{n=1}^{\infty}2^{1-5n/2}2^{3n/2} =2\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}=2<\infty. \end{aligned}

従って $f$ が無限大となる集合は零集合であり、 $f$ はほとんど至る所有限である。