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東北大学 理学研究科 数学専攻 2023年8月実施 選択問題 [4]

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Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は 88 題ある。33 題を選択して解答すること。

33 次元ユークリッド空間 R3\mathbb R^3 において、

X={(x,y,z)∈R3 | x2+y24+3z24=1}X=\left\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\ \middle|\ x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{3z^2}{4}=1\right\}

および

Y={(x,y,z)∈R3 | x2+3y24+z24=1}Y=\left\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\ \middle|\ x^2+\frac{3y^2}{4}+\frac{z^2}{4}=1\right\}

とおく。以下の問いに答えよ。

(1) すべての非負の整数 qq に対して、XX の qq 次の整係数ホモロジー群 Hq(X)H_q(X) を求めよ。

(2) すべての非負の整数 qq に対して、X∩YX\cap Y の qq 次の整係数ホモロジー群 Hq(X∩Y)H_q(X\cap Y) を求めよ。

(3) すべての非負の整数 qq に対して、X∪YX\cup Y の qq 次の整係数ホモロジー群 Hq(X∪Y)H_q(X\cup Y) を求めよ。

题目描述​

本卷共 88 道题，请选择其中 33 道作答。

在三维欧氏空间 R3\mathbb R^3 中，令

X={(x,y,z)∈R3 | x2+y24+3z24=1},X=\left\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\ \middle|\ x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{3z^2}{4}=1\right\},

以及

Y={(x,y,z)∈R3 | x2+3y24+z24=1}.Y=\left\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\ \middle|\ x^2+\frac{3y^2}{4}+\frac{z^2}{4}=1\right\}.

回答下列问题。

(1) 对所有非负整数 qq，求 XX 的 qq 次整数系数同调群 Hq(X)H_q(X)。

(2) 对所有非负整数 qq，求 X∩YX\cap Y 的 qq 次整数系数同调群 Hq(X∩Y)H_q(X\cap Y)。

(3) 对所有非负整数 qq，求 X∪YX\cup Y 的 qq 次整数系数同调群 Hq(X∪Y)H_q(X\cup Y)。

Kai​

(1)​

線形写像 (x,y,z)↦(x,y/2,3z/2)(x,y,z)\mapsto(x,y/2,\sqrt3z/2) は XX を S2S^2 に同相に写す。したがって

Hq(X)≅{Z(q=0,2),0(q=1 または q≥3).\boxed{H_q(X)\cong \begin{cases} \mathbb Z &(q=0,2),\\ 0 &(q=1\text{ または }q\ge3). \end{cases}}

(2)​

二つの方程式の差から y2=z2y^2=z^2 となるので

X∩Y=Γ+∪Γ−,Γ±={(x,y,z)∣x2+z2=1, y=±z}.X\cap Y=\Gamma_+\cup\Gamma_-,\qquad \Gamma_\pm=\{(x,y,z)\mid x^2+z^2=1,\ y=\pm z\}.

Γ+\Gamma_+ と Γ−\Gamma_- はそれぞれ円周と同相であり、その共通部分は (1,0,0),(−1,0,0)(1,0,0),(-1,0,0) の二点である。よって X∩YX\cap Y は頂点が二つ、両頂点を結ぶ辺が四つの連結グラフである。

各辺を同じ向きにとると、境界写像 ∂1:Z4→Z2\partial_1:\mathbb Z^4\to\mathbb Z^2 の四つの列はすべて (−1,1)T(-1,1)^T である。ゆえに ker⁡∂1≅Z3\ker\partial_1\cong\mathbb Z^3 であり、

Hq(X∩Y)≅{Z(q=0),Z3(q=1),0(q≥2).\boxed{H_q(X\cap Y)\cong \begin{cases} \mathbb Z &(q=0),\\ \mathbb Z^3 &(q=1),\\ 0 &(q\ge2). \end{cases}}

(3)​

YY も S2S^2 と同相である。交わりのグラフを共通部分複体とするように X,YX,Y を三角形分割すれば、Mayer–Vietoris 完全列を適用できる。その一部は

0⟶Z2⟶H2(X∪Y)⟶Z3⟶00\longrightarrow\mathbb Z^2\longrightarrow H_2(X\cup Y) \longrightarrow\mathbb Z^3\longrightarrow0

となる。右端の Z3\mathbb Z^3 は自由アーベル群なのでこの完全列は分裂し、H2(X∪Y)≅Z5H_2(X\cup Y)\cong\mathbb Z^5 である。

さらに

0⟶H1(X∪Y)⟶Z→ n↦(n,−n) Z2⟶H0(X∪Y)⟶0.0\longrightarrow H_1(X\cup Y)\longrightarrow\mathbb Z \xrightarrow{\ n\mapsto(n,-n)\ }\mathbb Z^2 \longrightarrow H_0(X\cup Y)\longrightarrow0.

中央の写像は単射であるから H1(X∪Y)=0H_1(X\cup Y)=0。また X∪YX\cup Y は連結であり、22 次元複体なので

Hq(X∪Y)≅{Z(q=0),Z5(q=2),0(q=1 または q≥3).\boxed{H_q(X\cup Y)\cong \begin{cases} \mathbb Z &(q=0),\\ \mathbb Z^5 &(q=2),\\ 0 &(q=1\text{ または }q\ge3). \end{cases}}

Reference​

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