東北大学理学研究科数学専攻 2023年8月実施選択問題 [3]

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祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

問題は $8$ 題ある。 $3$ 題を選択して解答すること。

$3$ 次元ユークリッド空間 $\mathbb R^3$ 上で定義される滑らかな関数 $f:\mathbb R^3\to\mathbb R$ を

f(x,y,z)=x^4-4xy+y^4+z^2\qquad((x,y,z)\in\mathbb R^3)

とし、 $S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid f(x,y,z)=1\}$ とおく。以下の問いに答えよ。

(1) $S$ は $\mathbb R^3$ の $2$ 次元部分多様体であることを示せ。

(2) $S$ 上で定義される滑らかな関数 $g:S\to\mathbb R$ を

g(x,y,z)=z

とするとき、 $g$ の臨界点をすべて求めよ。

本卷共 $8$ 道题，请选择其中 $3$ 道作答。

在三维欧氏空间 $\mathbb R^3$ 上定义光滑函数 $f:\mathbb R^3\to\mathbb R$ ：

f(x,y,z)=x^4-4xy+y^4+z^2\qquad((x,y,z)\in\mathbb R^3),

并令 $S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid f(x,y,z)=1\}$ 。回答下列问题。

(1) 证明 $S$ 是 $\mathbb R^3$ 的二维子流形。

(2) 在 $S$ 上定义光滑函数 $g:S\to\mathbb R$ 为

g(x,y,z)=z.

求 $g$ 的全部临界点。

\nabla f=(4x^3-4y,\ 4y^3-4x,\ 2z).

$\nabla f=0$ ならば $y=x^3,\ x=y^3,\ z=0$ であり、 $x=x^9$ を満たす。したがって臨界点は

(0,0,0),\qquad(1,1,0),\qquad(-1,-1,0)

のみであり、対応する臨界値は $0,-2,-2$ である。よって $1$ は $f$ の正則値である。 $S$ は $(0,0,1)$ を含むので空でなく、正則値定理より $3-1=2$ 次元の部分多様体である。

$p=(x,y,z)\in S$ が $g$ の臨界点であることは、ある $\lambda\in\mathbb R$ に対して

(0,0,1)=\lambda(4x^3-4y,\ 4y^3-4x,\ 2z)

となることと同値である。第 $3$ 成分から $\lambda\ne0$ かつ $z\ne0$ なので、最初の二成分から

y=x^3,\qquad x=y^3.

ゆえに $(x,y)=(0,0),(1,1),(-1,-1)$ に限られる。条件 $f=1$ を用いると、臨界点は

\boxed{(0,0,\pm1),\quad(1,1,\pm\sqrt3),\quad(-1,-1,\pm\sqrt3)}

の六点である。各点で $\lambda=1/(2z)$ とすれば上の式が成り立つので、これらはすべて実際に臨界点となる。