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東北大学 大学院理学研究科 数学専攻 2023年8月実施 共通問題 問題4

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Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は4題ある．全問に解答すること．

実数からなる数列 {an}n=1∞\{a_n\}_{n=1}^{\infty} において，a1>0a_1>0 とし，さらに任意の正の整数 nn に対して ∣an+1∣<∣an∣|a_{n+1}|<|a_n| および anan+1<0a_na_{n+1}<0 が成り立つとする．また数列 {Sm}m=1∞\{S_m\}_{m=1}^{\infty} を

Sm=∑n=12man(m∈Z>0)S_m=\sum_{n=1}^{2m}a_n\qquad(m\in\mathbb{Z}_{>0})

と定める．以下の問いに答えよ．ただし，Z>0\mathbb{Z}_{>0} は正の整数全体のなす集合を表す．

(1) 数列 {Sm}m=1∞\{S_m\}_{m=1}^{\infty} は狭義単調増加であることを示せ．

(2) 極限 lim⁡m→∞Sm\displaystyle\lim_{m\to\infty}S_m が存在することを示せ．

(3) 関数 g:[0,∞)→Rg:[0,\infty)\to\mathbb{R} を

g(x)={1(x∈[2j−2,2j−1)),−1(x∈[2j−1,2j))(j∈Z>0)g(x)=\begin{cases} 1&(x\in[2j-2,2j-1)),\\ -1&(x\in[2j-1,2j)) \end{cases}\qquad(j\in\mathbb{Z}_{>0})

と定める．このとき，数列 {Tm}m=1∞\{T_m\}_{m=1}^{\infty} を

Tm=∫02mg(x)log⁡(e+x) dx(m∈Z>0)T_m=\int_0^{2m}\frac{g(x)}{\log(e+x)}\,dx \qquad(m\in\mathbb{Z}_{>0})

と定めると，極限 T=lim⁡m→∞TmT=\displaystyle\lim_{m\to\infty}T_m が存在して

0<T<∫011log⁡(e+x) dx0<T<\int_0^1\frac1{\log(e+x)}\,dx

を満たすことを示せ．

题目描述​

本卷共有4题，全部作答。

实数列 {an}n=1∞\{a_n\}_{n=1}^{\infty} 满足 a1>0a_1>0，且对每个正整数 nn 都有 ∣an+1∣<∣an∣|a_{n+1}|<|a_n| 和 anan+1<0a_na_{n+1}<0。定义

Sm=∑n=12man(m∈Z>0),S_m=\sum_{n=1}^{2m}a_n\qquad(m\in\mathbb{Z}_{>0}),

其中 Z>0\mathbb{Z}_{>0} 表示正整数集合。回答下列问题。

(1) 证明 {Sm}m=1∞\{S_m\}_{m=1}^{\infty} 严格单调递增。

(2) 证明极限 lim⁡m→∞Sm\displaystyle\lim_{m\to\infty}S_m 存在。

(3) 定义函数 g:[0,∞)→Rg:[0,\infty)\to\mathbb{R} 为

g(x)={1(x∈[2j−2,2j−1)),−1(x∈[2j−1,2j))(j∈Z>0).g(x)=\begin{cases} 1&(x\in[2j-2,2j-1)),\\ -1&(x\in[2j-1,2j)) \end{cases}\qquad(j\in\mathbb{Z}_{>0}).

令

Tm=∫02mg(x)log⁡(e+x) dx(m∈Z>0).T_m=\int_0^{2m}\frac{g(x)}{\log(e+x)}\,dx \qquad(m\in\mathbb{Z}_{>0}).

证明极限 T=lim⁡m→∞TmT=\displaystyle\lim_{m\to\infty}T_m 存在，并满足

0<T<∫011log⁡(e+x) dx.0<T<\int_0^1\frac1{\log(e+x)}\,dx.

Kai​

(1)​

仮定から a2j−1>0a_{2j-1}>0，a2j<0a_{2j}<0 であり，絶対値は狭義単調減少する．よって

Sm+1−Sm=a2m+1+a2m+2=∣a2m+1∣−∣a2m+2∣>0.S_{m+1}-S_m=a_{2m+1}+a_{2m+2} =|a_{2m+1}|-|a_{2m+2}|>0.

(2)​

正負の項を次のように組み合わせると

Sm=a1+∑j=1m−1(a2j+a2j+1)+a2m<a1.S_m=a_1+\sum_{j=1}^{m-1}(a_{2j}+a_{2j+1})+a_{2m}<a_1.

したがって {Sm}\{S_m\} は上に有界な単調増加列であり，有限の極限をもつ．

(3)​

an=(−1)n+1∫n−1ndxlog⁡(e+x)a_n=(-1)^{n+1}\int_{n-1}^{n}\frac{dx}{\log(e+x)}

とおく．x↦1/log⁡(e+x)x\mapsto1/\log(e+x) は正かつ狭義単調減少なので，a1>0a_1>0，anan+1<0a_na_{n+1}<0，∣an+1∣<∣an∣|a_{n+1}|<|a_n| を満たす．また Tm=∑n=12manT_m=\sum_{n=1}^{2m}a_n．(1), (2) より T=lim⁡mTmT=\lim_mT_m が存在する．

下限については T≥T1=a1+a2>0T\ge T_1=a_1+a_2>0．上限について，m≥2m\ge2 ならば

Tm=a1+(a2+a3)+∑j=2m−1(a2j+a2j+1)+a2m<a1+a2+a3.T_m=a_1+(a_2+a_3)+\sum_{j=2}^{m-1}(a_{2j}+a_{2j+1})+a_{2m} <a_1+a_2+a_3.

よって

0<T≤a1+a2+a3<a1=∫01dxlog⁡(e+x).0<T\le a_1+a_2+a_3<a_1 =\int_0^1\frac{dx}{\log(e+x)}.

Reference​

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