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東北大学 大学院理学研究科 数学専攻 2023年8月実施 共通問題 問題3

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Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は4題ある．全問に解答すること．

正の整数 nn に対し，開区間 I=(−1,1)I=(-1,1) 上の関数 fn:I→Rf_n:I\to\mathbb{R} を

fn(x)=x(1−x2)n(x∈I)f_n(x)=x(1-x^2)^n\qquad(x\in I)

と定める．以下の問いに答えよ．

(1) 各 x∈Ix\in I に対して極限 lim⁡n→∞fn(x)\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(x) を求めよ．

(2) 関数列 {fn}n=1∞\{f_n\}_{n=1}^{\infty} は f(x)=lim⁡n→∞fn(x)f(x)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(x) (x∈I)(x\in I) によって定まる関数 f:I→Rf:I\to\mathbb{R} に II 上で一様収束することを示せ．

(3) 各 x∈Ix\in I に対して極限 lim⁡n→∞fn′(x)\displaystyle\lim_{n\to\infty}f'_n(x) を求めよ．ただし fn′f'_n は fnf_n の導関数を表す．

(4) 関数列 {fn′}n=1∞\{f'_n\}_{n=1}^{\infty} は g(x)=lim⁡n→∞fn′(x)g(x)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}f'_n(x) (x∈I)(x\in I) によって定まる関数 g:I→Rg:I\to\mathbb{R} に II 上で一様収束するか，理由とともに答えよ．

题目描述​

本卷共有4题，全部作答。

对正整数 nn，定义开区间 I=(−1,1)I=(-1,1) 上的函数 fn:I→Rf_n:I\to\mathbb{R} 为

fn(x)=x(1−x2)n(x∈I).f_n(x)=x(1-x^2)^n\qquad(x\in I).

回答下列问题。

(1) 求每个 x∈Ix\in I 对应的极限 lim⁡n→∞fn(x)\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(x)。

(2) 令 f(x)=lim⁡n→∞fn(x)f(x)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(x) (x∈I)(x\in I)。证明函数列 {fn}n=1∞\{f_n\}_{n=1}^{\infty} 在 II 上一致收敛于函数 f:I→Rf:I\to\mathbb{R}。

(3) 求每个 x∈Ix\in I 对应的极限 lim⁡n→∞fn′(x)\displaystyle\lim_{n\to\infty}f'_n(x)，其中 fn′f'_n 表示 fnf_n 的导函数。

(4) 令 g(x)=lim⁡n→∞fn′(x)g(x)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}f'_n(x) (x∈I)(x\in I)。判断函数列 {fn′}n=1∞\{f'_n\}_{n=1}^{\infty} 是否在 II 上一致收敛于 g:I→Rg:I\to\mathbb{R}，并说明理由。

Kai​

(1)​

x=0x=0 ならば fn(0)=0f_n(0)=0．0<∣x∣<10<|x|<1 ならば 0<1−x2<10<1-x^2<1 だから，fn(x)=x(1−x2)n→0f_n(x)=x(1-x^2)^n\to0．したがって f(x)=0f(x)=0 である．

(2)​

微分すると

fn′(x)=(1−x2)n−1{1−(2n+1)x2}.f'_n(x)=(1-x^2)^{n-1}\{1-(2n+1)x^2\}.

∣fn∣|f_n| は ∣x∣=(2n+1)−1/2|x|=(2n+1)^{-1/2} で最大となり，

sup⁡x∈I∣fn(x)∣=12n+1(2n2n+1)n≤12n+1⟶0.\sup_{x\in I}|f_n(x)| =\frac1{\sqrt{2n+1}}\left(\frac{2n}{2n+1}\right)^n \le\frac1{\sqrt{2n+1}}\longrightarrow0.

よって fnf_n は II 上で 00 に一様収束する．

(3)​

fn′(0)=1f'_n(0)=1 である．固定した x≠0x\ne0 に対しては，q=1−x2∈(0,1)q=1-x^2\in(0,1) とおくと qn−1→0q^{n-1}\to0 および nqn−1→0nq^{n-1}\to0 だから

fn′(x)=qn−1−(2n+1)x2qn−1⟶0.f'_n(x)=q^{n-1}- (2n+1)x^2q^{n-1}\longrightarrow0.

したがって

g(x)={1(x=0),0(x≠0).g(x)=\begin{cases}1&(x=0),\\0&(x\ne0). \end{cases}

(4)​

一様収束しない．実際，各 fn′f'_n は連続だが，極限関数 gg は x=0x=0 で不連続であり，連続関数列の一様極限が連続であることに反する．

直接にも，任意の nn に対し lim⁡x→0, x≠0∣fn′(x)−g(x)∣=1\lim_{x\to0,\,x\ne0}|f'_n(x)-g(x)|=1 なので，sup⁡x∈I∣fn′(x)−g(x)∣≥1\sup_{x\in I}|f'_n(x)-g(x)|\ge1 と分かる．

Reference​

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