東北大学理学研究科数学専攻 2023年8月実施共通問題 [1]

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祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

問題は $4$ 題ある。全問に解答すること。

複素数 $a$ に対し、 $3$ 次正方行列 $A(a)$ を

A(a)=\begin{pmatrix}3-2a&4&a-2\\2&2&-1\\6-2a&8&a-4\end{pmatrix}

と定める。以下の問いに答えよ。

(1) $A(a)$ の固有多項式を求めよ。

(2) $A(a)$ の固有多項式が重根をもつような $a$ をすべて求めよ。

(3) (2) で求めた $a$ を一つ選び、そのときの $A(a)$ のジョルダン標準形を決定せよ。

试卷共 $4$ 道题，全部作答。

对复数 $a$ ，定义三阶方阵

A(a)=\begin{pmatrix}3-2a&4&a-2\\2&2&-1\\6-2a&8&a-4\end{pmatrix}.

回答下列问题。

(1) 求 $A(a)$ 的特征多项式。

(2) 求使 $A(a)$ 的特征多项式有重根的全部 $a$ 。

(3) 从第 (2) 问求得的 $a$ 中选择一个，确定此时 $A(a)$ 的若尔当标准形。

行列式を展開すると

\begin{aligned} p_a(t)&=\det(tI-A(a))\\ &=\det\begin{pmatrix}t+2a-3&-4&2-a\\-2&t-2&1\\2a-6&-8&t-a+4\end{pmatrix}\\ &=t^3+(a-1)t^2-(a+2)t-2a\\ &=(t+1)(t-2)(t+a). \end{aligned}

$-1$ と $2$ は異なるから、重根をもつのは $-a=-1$ または $-a=2$ の場合に限る。したがって

a=1,\ -2.

$a=1$ のとき $p_1(t)=(t+1)^2(t-2)$ であり、 $\operatorname{rank}(A(1)+I)=2$ なので固有値 $-1$ のジョルダン細胞は大きさ $2$ である。

p_1=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix},\quad p_2=\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix},\quad p_3=\begin{pmatrix}4\\3\\8\end{pmatrix}

と取ると、直接計算により

(A(1)+I)p_1=0,\qquad (A(1)+I)p_2=p_1,\qquad (A(1)-2I)p_3=0.

したがって

P=\begin{pmatrix}1&0&4\\0&1&3\\2&3&8\end{pmatrix},\qquad \det P=-9\ne0

を用いて、求めるジョルダン標準形は

P^{-1}A(1)P=\begin{pmatrix}-1&1&0\\0&-1&0\\0&0&2\end{pmatrix}.