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東北大学 理学研究科 数学専攻 2022年8月実施 選択問題 [6]

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Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は8題ある。3題を選択して解答すること。

実ヒルベルト空間 (H,(⋅,⋅))(H,(\cdot,\cdot)) とそのノルム ∥x∥=(x,x)\|x\|=\sqrt{(x,x)}（x∈Hx\in H）について、以下の問いに答えよ。

(1) 次の (i), (ii) を証明せよ。

(i) HH の元からなる列 {xn}n=1∞\{x_n\}_{n=1}^\infty が x∈Hx\in H に弱収束し、さらに lim⁡n→∞∥xn∥=∥x∥\lim_{n\to\infty}\|x_n\|=\|x\| を満たすとき、{xn}n=1∞\{x_n\}_{n=1}^\infty は xx に強収束する。

(ii) HH の元からなる列 {xn}n=1∞\{x_n\}_{n=1}^\infty が x∈Hx\in H に弱収束するとき、次の不等式が成り立つ。

lim inf⁡n→∞∥xn∥≥∥x∥.\liminf_{n\to\infty}\|x_n\|\ge\|x\|.

(2) HH の部分集合 SS が以下の性質を満たすものとする。

集合 SS の元からなる列 {xn}n=1∞\{x_n\}_{n=1}^\infty が x∈Hx\in H に弱収束するならば、xx は SS に属する。

また x0∈Hx_0\in H に対して、汎関数 I:S→RI:S\to\mathbb R を

I(y)=∥y−x0∥,y∈SI(y)=\|y-x_0\|,\quad y\in S

と定める。汎関数 II の任意の最小化列 {yn}n=1∞\{y_n\}_{n=1}^\infty（すなわち yn∈Sy_n\in S かつ I(yn)→inf⁡y∈SI(y)I(y_n)\to\inf_{y\in S}I(y) を満たす列 {yn}n=1∞\{y_n\}_{n=1}^\infty）は HH 上で強収束する部分列を持つことを証明せよ。

题目描述​

试卷共8题，选择其中3题作答。

设 (H,(⋅,⋅))(H,(\cdot,\cdot)) 为实希尔伯特空间，范数为 ∥x∥=(x,x)\|x\|=\sqrt{(x,x)}。回答下列问题。

(1) 证明以下两项。

(i) 若序列 {xn}⊂H\{x_n\}\subset H 弱收敛于 x∈Hx\in H，并且 ∥xn∥→∥x∥\|x_n\|\to\|x\|，则它强收敛于 xx。

(ii) 若序列 {xn}⊂H\{x_n\}\subset H 弱收敛于 x∈Hx\in H，则

lim inf⁡n→∞∥xn∥≥∥x∥.\liminf_{n\to\infty}\|x_n\|\ge\|x\|.

(2) 设子集 S⊂HS\subset H 满足：如果 SS 中的序列弱收敛于 x∈Hx\in H，则 x∈Sx\in S。对给定的 x0∈Hx_0\in H，定义泛函 I:S→RI:S\to\mathbb R：

I(y)=∥y−x0∥(y∈S).I(y)=\|y-x_0\|\qquad(y\in S).

证明 II 的任意极小化序列 {yn}n=1∞\{y_n\}_{n=1}^\infty，即满足 yn∈Sy_n\in S 且 I(yn)→inf⁡y∈SI(y)I(y_n)\to\inf_{y\in S}I(y) 的序列，都具有在 HH 中强收敛的子列。

Kai​

(1)(i)​

弱収束とノルムの収束を用いて、

∥xn−x∥2=∥xn∥2−2(xn,x)+∥x∥2⟶∥x∥2−2∥x∥2+∥x∥2=0.\begin{aligned} \|x_n-x\|^2 &=\|x_n\|^2-2(x_n,x)+\|x\|^2\\ &\longrightarrow\|x\|^2-2\|x\|^2+\|x\|^2=0. \end{aligned}

従って xn→xx_n\to x が強収束する。

(1)(ii)​

∥xn−x∥2≥0\|x_n-x\|^2\ge0 より

∥xn∥2≥2(xn,x)−∥x∥2.\|x_n\|^2\ge2(x_n,x)-\|x\|^2.

弱収束を用いて下極限をとると lim inf⁡n∥xn∥2≥∥x∥2\liminf_n\|x_n\|^2\ge\|x\|^2 となる。平方根の単調性・連続性から所望の不等式を得る。

(2)​

d=inf⁡y∈S∥y−x0∥d=\inf_{y\in S}\|y-x_0\| とし、任意の最小化列 (yn)(y_n) をとる。∥yn−x0∥→d\|y_n-x_0\|\to d なので (yn)(y_n) は有界である。Hilbert 空間の有界列は弱収束部分列を持つので、ynj⇀y∗y_{n_j}\rightharpoonup y_* となる部分列を選ぶ。SS に関する仮定から y∗∈Sy_*\in S である。

(1)(ii) を ynj−x0⇀y∗−x0y_{n_j}-x_0\rightharpoonup y_*-x_0 に適用すると

d≤∥y∗−x0∥≤lim inf⁡j∥ynj−x0∥=d.d\le\|y_*-x_0\|\le\liminf_j\|y_{n_j}-x_0\|=d.

従って ∥ynj−x0∥→∥y∗−x0∥\|y_{n_j}-x_0\|\to\|y_*-x_0\| であり、(1)(i) により ynj−x0→y∗−x0y_{n_j}-x_0\to y_*-x_0 が強収束する。よって元の最小化列も強収束する部分列を持つ。

Reference​

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