跳到主要内容

東北大学 理学研究科 数学専攻 2022年8月実施 選択問題 [5]

标签：

Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は8題ある。3題を選択して解答すること。

mm は R\mathbb R 上のルベーグ測度とする。R\mathbb R 上の非負値ルベーグ可測関数 ff は ∫Rf(x)m(dx)<∞\int_{\mathbb R}f(x)m(dx)<\infty を満たすものとする。以下の問いに答えよ。

(1) 正の実数 RR に対して

fR(x)={min⁡{f(x),R}(∣x∣≤R),0(∣x∣>R)f_R(x)=\begin{cases}\min\{f(x),R\}&(|x|\le R),\\0&(|x|>R) \end{cases}

とおく。このとき、任意の正の実数 ε\varepsilon に対してある正の実数 RR が存在して

∫R{f(x)−fR(x)}m(dx)<ε\int_{\mathbb R}\{f(x)-f_R(x)\}m(dx)<\varepsilon

が成り立つことを示せ。

(2) R\mathbb R 上の非負値ルベーグ可測関数の列 {gn}n=1∞\{g_n\}_{n=1}^\infty は次の条件 (∗)(*) を満たすものとする。

(∗)(*) 正の実数 δ\delta とルベーグ可測集合 A⊂RA\subset\mathbb R に対して、AA が有限な測度 m(A)<∞m(A)<\infty を持つならば

lim⁡n→∞m({x∈R∣gn(x)>δ}∩A)=0\lim_{n\to\infty}m\bigl(\{x\in\mathbb R\mid g_n(x)>\delta\}\cap A\bigr)=0

が成り立つ。

このとき、ルベーグ可測集合 A⊂RA\subset\mathbb R が、有限な測度 m(A)<∞m(A)<\infty を持つならば

lim⁡n→∞∫Amin⁡{gn(x),1}m(dx)=0\lim_{n\to\infty}\int_A\min\{g_n(x),1\}m(dx)=0

が成り立つことを示せ。

(3) R\mathbb R 上の非負値ルベーグ可測関数の列 {gn}n=1∞\{g_n\}_{n=1}^\infty は (2) で定めた条件 (∗)(*) を満たすものとする。このとき

lim⁡n→∞∫Rmin⁡{gn(x),1}f(x)m(dx)=0\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb R}\min\{g_n(x),1\}f(x)m(dx)=0

が成り立つことを示せ。

题目描述​

试卷共8题，选择其中3题作答。

设 mm 为 R\mathbb R 上的勒贝格测度，非负可测函数 ff 满足 ∫Rf(x)m(dx)<∞\int_{\mathbb R}f(x)m(dx)<\infty。回答下列问题。

(1) 对 R>0R>0，定义

fR(x)={min⁡{f(x),R}(∣x∣≤R),0(∣x∣>R).f_R(x)=\begin{cases}\min\{f(x),R\}&(|x|\le R),\\0&(|x|>R). \end{cases}

证明任意 ε>0\varepsilon>0 都存在 R>0R>0，使

∫R{f(x)−fR(x)}m(dx)<ε.\int_{\mathbb R}\{f(x)-f_R(x)\}m(dx)<\varepsilon.

(2) 设 R\mathbb R 上的非负可测函数列 {gn}n=1∞\{g_n\}_{n=1}^\infty 满足条件 (∗)(*)：对任意 δ>0\delta>0 和满足 m(A)<∞m(A)<\infty 的勒贝格可测集 A⊂RA\subset\mathbb R，均有

lim⁡n→∞m({x∈R∣gn(x)>δ}∩A)=0.\lim_{n\to\infty}m\bigl(\{x\in\mathbb R\mid g_n(x)>\delta\}\cap A\bigr)=0.

证明每个有限测度的勒贝格可测集 A⊂RA\subset\mathbb R 都满足

lim⁡n→∞∫Amin⁡{gn(x),1}m(dx)=0.\lim_{n\to\infty}\int_A\min\{g_n(x),1\}m(dx)=0.

(3) 设非负可测函数列 {gn}\{g_n\} 满足 (2) 的条件 (∗)(*)。证明

lim⁡n→∞∫Rmin⁡{gn(x),1}f(x)m(dx)=0.\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb R}\min\{g_n(x),1\}f(x)m(dx)=0.

Kai​

(1)​

0≤fR≤f0\le f_R\le f であり、ff が有限な各点で fR(x)→f(x)f_R(x)\to f(x) となる。従って 0≤f−fR≤f∈L1(R)0\le f-f_R\le f\in L^1(\mathbb R) に優収束定理を適用すれば、

lim⁡R→∞∫R(f−fR) dm=0.\lim_{R\to\infty}\int_{\mathbb R}(f-f_R)\,dm=0.

これから指定された ε\varepsilon に対する RR が存在する。

(2)​

0<δ<10<\delta<1 とすると、

∫Amin⁡{gn,1} dm≤δm(A)+m(A∩{gn>δ}).\begin{aligned} \int_A\min\{g_n,1\}\,dm &\le\delta m(A)+m\bigl(A\cap\{g_n>\delta\}\bigr). \end{aligned}

仮定 (∗)(*) より右辺第2項は 00 に収束する。従って左辺の上極限は δm(A)\delta m(A) 以下である。m(A)<∞m(A)<\infty なので、さらに δ↓0\delta\downarrow0 とすれば結論を得る。

(3)​

0≤min⁡{gn,1}≤10\le\min\{g_n,1\}\le1 と 0≤fR≤Rχ[−R,R]0\le f_R\le R\chi_{[-R,R]} より、

0≤∫Rmin⁡{gn,1}f dm≤R∫[−R,R]min⁡{gn,1} dm+∫R(f−fR) dm.\begin{aligned} 0\le\int_{\mathbb R}\min\{g_n,1\}f\,dm &\le R\int_{[-R,R]}\min\{g_n,1\}\,dm +\int_{\mathbb R}(f-f_R)\,dm. \end{aligned}

ε>0\varepsilon>0 に対し (1) によって第2項が ε\varepsilon 未満となる RR を固定する。この RR に (2) を適用すれば第1項は 00 に収束する。よって左辺の上極限は ε\varepsilon 以下であり、ε\varepsilon の任意性から極限は 00 である。

Reference​

本页目录