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東北大学 理学研究科 数学専攻 2022年8月実施 選択問題 [4]

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祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は 88 題ある。33 題を選択して解答すること。

33 次元ユークリッド空間 R3\mathbb R^3 からそれ自身への写像 f:R3→R3f:\mathbb R^3\to\mathbb R^3 を次で定義する。

f(x,y,z)=(x+xy2, y+zx2, z)((x,y,z)∈R3).f(x,y,z)=\left(x+\frac{xy}{2},\ y+\frac{zx}{2},\ z\right) \qquad((x,y,z)\in\mathbb R^3).

以下の問いに答えよ。

(1) 点 (x,y,z)∈R3(x,y,z)\in\mathbb R^3 における ff のヤコビ行列 J(x,y,z)J(x,y,z) を計算せよ。

(2) 集合 {(x,y,z)∈R3∣rank⁡J(x,y,z)=2}\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid\operatorname{rank}J(x,y,z)=2\} は R3\mathbb R^3 の空でない部分多様体となることを示せ。

(3) ff を 22 次元球面 S2={(x,y,z)∈R3∣x2+y2+z2=1}S^2=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x^2+y^2+z^2=1\} に制限して得られる写像 g=f∣S2:S2→R3g=f|_{S^2}:S^2\to\mathbb R^3 を考える。集合 {p∈S2∣rank⁡dgp=2}\{p\in S^2\mid\operatorname{rank}dg_p=2\} を求めよ。ただし、dgp:Tp(S2)→Tf(p)(R3)dg_p:T_p(S^2)\to T_{f(p)}(\mathbb R^3) は点 p∈S2p\in S^2 における gg の微分写像を表す。

题目描述​

本卷共 88 道题，请选择其中 33 道作答。

定义三维欧氏空间上的映射 f:R3→R3f:\mathbb R^3\to\mathbb R^3：

f(x,y,z)=(x+xy2, y+zx2, z)((x,y,z)∈R3).f(x,y,z)=\left(x+\frac{xy}{2},\ y+\frac{zx}{2},\ z\right) \qquad((x,y,z)\in\mathbb R^3).

回答下列问题。

(1) 计算 ff 在点 (x,y,z)∈R3(x,y,z)\in\mathbb R^3 处的雅可比矩阵 J(x,y,z)J(x,y,z)。

(2) 证明集合 {(x,y,z)∈R3∣rank⁡J(x,y,z)=2}\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid\operatorname{rank}J(x,y,z)=2\} 是 R3\mathbb R^3 的非空子流形。

(3) 将 ff 限制在二维球面 S2={(x,y,z)∈R3∣x2+y2+z2=1}S^2=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x^2+y^2+z^2=1\} 上，得到映射 g=f∣S2:S2→R3g=f|_{S^2}:S^2\to\mathbb R^3。求集合 {p∈S2∣rank⁡dgp=2}\{p\in S^2\mid\operatorname{rank}dg_p=2\}。这里 dgp:Tp(S2)→Tf(p)(R3)dg_p:T_p(S^2)\to T_{f(p)}(\mathbb R^3) 表示 gg 在 p∈S2p\in S^2 处的微分映射。

Kai​

(1)​

J(x,y,z)=(1+y/2x/20z/21x/2001).\boxed{J(x,y,z)= \begin{pmatrix} 1+y/2&x/2&0\\ z/2&1&x/2\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.}

(2)​

第 2,32,3 行、第 2,32,3 列からなる小行列の行列式は常に 11 なので、JJ の階数は常に 22 以上である。また

det⁡J=1+y2−xz4=4+2y−xz4.\det J=1+\frac y2-\frac{xz}{4}= \frac{4+2y-xz}{4}.

したがって求める集合は

M={(x,y,z)∈R3∣h(x,y,z)=0},h(x,y,z)=4+2y−xzM=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid h(x,y,z)=0\},\qquad h(x,y,z)=4+2y-xz

である。∂h/∂y=2\partial h/\partial y=2 より 00 は hh の正則値であり、MM は 22 次元部分多様体である。例えば (0,−2,0)∈M(0,-2,0)\in M だから MM は空でない。

(3)​

p=(x,y,z)∈S2p=(x,y,z)\in S^2 では y≥−1y\ge-1 および

xz≤x2+z22≤12xz\le\frac{x^2+z^2}{2}\le\frac12

が成り立つ。よって

4+2y−xz≥4−2−12=32>0.4+2y-xz\ge4-2-\frac12=\frac32>0.

したがって J(p)J(p) は S2S^2 上のすべての点で正則である。dgpdg_p はこの可逆な線形写像を 22 次元部分空間 Tp(S2)T_p(S^2) に制限したものなので単射であり、階数は 22 である。ゆえに

{p∈S2∣rank⁡dgp=2}=S2.\boxed{\{p\in S^2\mid\operatorname{rank}dg_p=2\}=S^2.}

Reference​

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