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東北大学 理学研究科 数学専攻 2022年8月実施 選択問題 [3]

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祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は 88 題ある。33 題を選択して解答すること。

33 次元ユークリッド空間 R3\mathbb R^3 において

A={(x,y,z)∈R3∣x2+y2+z2=1}∪{(x,y,z)∈R3∣x2+y2=1, z2=1}\begin{aligned} A={}&\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x^2+y^2+z^2=1\}\\ &\mathbin{\cup}\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x^2+y^2=1,\ z^2=1\} \end{aligned}

とおき、B=A×[−1,1]B=A\times[-1,1] とする。BB 上の同値関係 ∼\sim を (x,y,z,t),(x′,y′,z′,t′)∈B(x,y,z,t),(x',y',z',t')\in B に対し、

(x,y,z,t)∼(x′,y′,z′,t′)⟺(x,y,z,t)=(x′,y′,z′,t′)または t=t′=1または t=t′=−1\begin{aligned} (x,y,z,t)\sim(x',y',z',t')\quad\Longleftrightarrow\quad & (x,y,z,t)=(x',y',z',t')\\ &\text{または }t=t'=1\\ &\text{または }t=t'=-1 \end{aligned}

で定める（∼\sim が同値関係になることは認めてよい）。C=B/∼C=B/{\sim} を商位相空間とし、p:B→Cp:B\to C を標準的な商写像とする。B1=A×[0,1]B_1=A\times[0,1], B2=A×[−1,0]B_2=A\times[-1,0], C1=p(B1)C_1=p(B_1), C2=p(B2)C_2=p(B_2) とおく。以下の問いに答えよ。

(1) CC は弧状連結であることを示せ。

(2) C1C_1 が可縮であることを、ホモトピーを構成することにより示せ。

(3) 非負の整数 qq に対し、CC の整係数ホモロジー群 Hq(C)H_q(C) を求めよ。

题目描述​

本卷共 88 道题，请选择其中 33 道作答。

在三维欧氏空间 R3\mathbb R^3 中，令

A={(x,y,z)∈R3∣x2+y2+z2=1}∪{(x,y,z)∈R3∣x2+y2=1, z2=1},\begin{aligned} A={}&\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x^2+y^2+z^2=1\}\\ &\mathbin{\cup}\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x^2+y^2=1,\ z^2=1\}, \end{aligned}

并令 B=A×[−1,1]B=A\times[-1,1]。对 (x,y,z,t),(x′,y′,z′,t′)∈B(x,y,z,t),(x',y',z',t')\in B，在 BB 上定义等价关系 ∼\sim：

(x,y,z,t)∼(x′,y′,z′,t′)⟺(x,y,z,t)=(x′,y′,z′,t′)或 t=t′=1或 t=t′=−1.\begin{aligned} (x,y,z,t)\sim(x',y',z',t')\quad\Longleftrightarrow\quad & (x,y,z,t)=(x',y',z',t')\\ &\text{或 }t=t'=1\\ &\text{或 }t=t'=-1. \end{aligned}

可以直接使用 ∼\sim 是等价关系这一事实。令 C=B/∼C=B/{\sim} 为商拓扑空间，p:B→Cp:B\to C 为标准商映射。令 B1=A×[0,1]B_1=A\times[0,1], B2=A×[−1,0]B_2=A\times[-1,0], C1=p(B1)C_1=p(B_1), C2=p(B2)C_2=p(B_2)。回答下列问题。

(1) 证明 CC 是道路连通的。

(2) 通过构造同伦，证明 C1C_1 可缩。

(3) 对非负整数 qq，求 CC 的整数系数同调群 Hq(C)H_q(C)。

Kai​

(1)​

AA の点を aa と略記し、p(a,t)=[a,t]p(a,t)=[a,t] と書く。t=1t=1 の点はすべて一つの点 v+v_+ に同一視される。

任意の点 c∈Cc\in C の代表元 (a,t)∈B(a,t)\in B を一つ固定すると、

γc(s)=[a,(1−s)t+s](0≤s≤1)\gamma_c(s)=[a,(1-s)t+s]\qquad(0\le s\le1)

は cc と v+v_+ を結ぶ連続な道である。したがって任意の二点は v+v_+ を経由する道で結ばれ、CC は弧状連結である。

(2)​

H:C1×[0,1]→C1,H([a,t],s)=[a,(1−s)t+s]H:C_1\times[0,1]\to C_1,\qquad H([a,t],s)=[a,(1-s)t+s]

と定める。C1C_1 で代表元が一意でないのは t=1t=1 のときだけであり、その場合は右辺も常に v+v_+ だから、この写像はよく定義される。商写像から誘導される写像として HH は連続で、

H(c,0)=c,H(c,1)=v+.H(c,0)=c,\qquad H(c,1)=v_+.

よって C1C_1 は可縮である。

(3)​

AA は単位球面と、平面 z=1,−1z=1,-1 上の半径 11 の円周との不交和である。したがって

Hq(A)≅{Z3(q=0),Z2(q=1),Z(q=2),0(q≥3).H_q(A)\cong \begin{cases} \mathbb Z^3 &(q=0),\\ \mathbb Z^2 &(q=1),\\ \mathbb Z &(q=2),\\ 0 &(q\ge3). \end{cases}

CC の開被覆を

U=p(A×(−1/2,1]),V=p(A×[−1,1/2))U=p\bigl(A\times(-1/2,1]\bigr),\qquad V=p\bigl(A\times[-1,1/2)\bigr)

ととる。U,VU,V はそれぞれ上端、下端の頂点へ縮められるので可縮であり、U∩V≅A×(−1/2,1/2)U\cap V\cong A\times(-1/2,1/2) は AA とホモトピー同値である。

Mayer–Vietoris 完全列から q≥2q\ge2 に対して

Hq(C)≅Hq−1(A)H_q(C)\cong H_{q-1}(A)

を得る。一方、低次の部分は

0⟶H1(C)⟶Z3→ϕZ2⟶H0(C)⟶0,0\longrightarrow H_1(C)\longrightarrow\mathbb Z^3 \xrightarrow{\phi}\mathbb Z^2 \longrightarrow H_0(C)\longrightarrow0,

ただし

ϕ(a,b,c)=(a+b+c,−a−b−c)\phi(a,b,c)=(a+b+c,-a-b-c)

である。よって ker⁡ϕ≅Z2\ker\phi\cong\mathbb Z^2 であり、H1(C)≅Z2H_1(C)\cong\mathbb Z^2。また (1) より H0(C)≅ZH_0(C)\cong\mathbb Z である。以上をまとめると

Hq(C)≅{Z(q=0,3),Z2(q=1,2),0(q≥4).\boxed{H_q(C)\cong \begin{cases} \mathbb Z &(q=0,3),\\ \mathbb Z^2 &(q=1,2),\\ 0 &(q\ge4). \end{cases}}

Reference​

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