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東北大学 大学院理学研究科 数学専攻 2022年8月実施 共通問題 問題3

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Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は4題ある．全問に解答すること．

実数列 {an}n=1∞\{a_n\}_{n=1}^{\infty} に対して

bn=a1+a2+⋯+ann(n=1,2,…)b_n=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\qquad(n=1,2,\ldots)

とおく．α\alpha を実数とするとき，以下の問いに答えよ．

(1) lim⁡n→∞an=α\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha ならば，lim⁡n→∞bn=α\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha であることを示せ．

(2) {an}n=1∞\{a_n\}_{n=1}^{\infty} は収束しないが，{bn}n=1∞\{b_n\}_{n=1}^{\infty} は収束するような実数列 {an}n=1∞\{a_n\}_{n=1}^{\infty} の例を挙げよ．また，その理由も述べること．

(3) 正の整数 nn に対して cn=an−an−1c_n=a_n-a_{n-1} とおく．ただし，a0=0a_0=0 とする．lim⁡n→∞bn=α\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha かつ lim⁡n→∞ncn=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}nc_n=0 ならば，lim⁡n→∞an=α\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha であることを示せ．

题目描述​

本卷共有4题，全部作答。

对实数列 {an}n=1∞\{a_n\}_{n=1}^{\infty}，令

bn=a1+a2+⋯+ann(n=1,2,…).b_n=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\qquad(n=1,2,\ldots).

设 α\alpha 为实数，回答下列问题。

(1) 证明：若 lim⁡n→∞an=α\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha，则 lim⁡n→∞bn=α\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha。

(2) 举一个 {an}n=1∞\{a_n\}_{n=1}^{\infty} 不收敛、但 {bn}n=1∞\{b_n\}_{n=1}^{\infty} 收敛的实数列的例子，并说明理由。

(3) 对正整数 nn，令 cn=an−an−1c_n=a_n-a_{n-1}，其中 a0=0a_0=0。证明：若 lim⁡n→∞bn=α\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha 且 lim⁡n→∞ncn=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}nc_n=0，则 lim⁡n→∞an=α\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha。

Kai​

(1)​

ε>0\varepsilon>0 に対し，k≥Nk\ge N ならば ∣ak−α∣<ε|a_k-\alpha|<\varepsilon となる NN をとる．n≥Nn\ge N に対して

∣bn−α∣≤1n∑k=1N−1∣ak−α∣+1n∑k=Nn∣ak−α∣≤CNn+ε,|b_n-\alpha| \le\frac1n\sum_{k=1}^{N-1}|a_k-\alpha| +\frac1n\sum_{k=N}^{n}|a_k-\alpha| \le\frac{C_N}{n}+\varepsilon,

ただし CN=∑k=1N−1∣ak−α∣C_N=\sum_{k=1}^{N-1}|a_k-\alpha|．n→∞n\to\infty の上極限をとり，ε↓0\varepsilon\downarrow0 とすれば bn→αb_n\to\alpha となる．

(2)​

an=(−1)na_n=(-1)^n とする．偶数番目の部分列は 11，奇数番目の部分列は −1-1 なので {an}\{a_n\} は収束しない．一方

b2m=0,b2m−1=−12m−1b_{2m}=0,\qquad b_{2m-1}=-\frac1{2m-1}

であるから bn→0b_n\to0．

(3)​

ak=∑j=1kcja_k=\sum_{j=1}^{k}c_j より

bn=1n∑j=1n(n−j+1)cj,an−bn=1n∑j=1n(j−1)cj.b_n=\frac1n\sum_{j=1}^{n}(n-j+1)c_j, \qquad a_n-b_n=\frac1n\sum_{j=1}^{n}(j-1)c_j.

したがって

∣an−bn∣≤1n∑j=1n∣jcj∣.|a_n-b_n|\le\frac1n\sum_{j=1}^{n}|jc_j|.

仮定から ∣jcj∣→0|jc_j|\to0 であり，(1) をこの数列に適用すると右辺は 00 に収束する．よって an=bn+(an−bn)→αa_n=b_n+(a_n-b_n)\to\alpha．

Reference​

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