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東北大学 理学研究科 数学専攻 2022年8月実施 共通問題 [2]

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Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は 44 題ある。全問に解答すること。

R\mathbb R の部分集合族 O1\mathcal O_1 を

O1={(a,∞)∣a∈R}∪{R,∅}\mathcal O_1=\{(a,\infty)\mid a\in\mathbb R\}\cup\{\mathbb R,\varnothing\}

と定める。O1\mathcal O_1 が R\mathbb R 上の位相（開集合系）となることは認めてよい。以下の問いに答えよ。

(1) 位相空間 (R,O1)(\mathbb R,\mathcal O_1) はハウスドルフか、連結か、それぞれ答えよ。根拠も述べること。

(2) O2\mathcal O_2 を R\mathbb R 上の通常のユークリッド距離位相とし、O\mathcal O を (R,O1)(\mathbb R,\mathcal O_1) と (R,O2)(\mathbb R,\mathcal O_2) の直積位相とする。ただし、R2=R×R\mathbb R^2=\mathbb R\times\mathbb R の第 11 成分の R\mathbb R の位相が O1\mathcal O_1、第 22 成分の R\mathbb R の位相が O2\mathcal O_2 として直積位相を考える。A={(x,y)∈R2∣x−y>1}A=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x-y>1\}、B={(x,y)∈R2∣x2+y2≤1}B=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x^2+y^2\le1\} とおく。AA は (R2,O)(\mathbb R^2,\mathcal O) の開集合であるか、また、BB は (R2,O)(\mathbb R^2,\mathcal O) の閉集合であるか、それぞれ答えよ。根拠も述べること。

(3) BB は (R2,O)(\mathbb R^2,\mathcal O) のコンパクト集合であるか答えよ。根拠も述べること。

题目描述​

试卷共 44 道题，全部作答。

定义 R\mathbb R 的子集族

O1={(a,∞)∣a∈R}∪{R,∅}.\mathcal O_1=\{(a,\infty)\mid a\in\mathbb R\}\cup\{\mathbb R,\varnothing\}.

可以直接使用 O1\mathcal O_1 构成 R\mathbb R 上的拓扑（开集族）这一事实。回答下列问题。

(1) 分别判断 (R,O1)(\mathbb R,\mathcal O_1) 是否为豪斯多夫空间、是否连通，并说明理由。

(2) 令 O2\mathcal O_2 为 R\mathbb R 上通常的欧几里得距离拓扑，O\mathcal O 为 (R,O1)(\mathbb R,\mathcal O_1) 与 (R,O2)(\mathbb R,\mathcal O_2) 的积拓扑，即 R2=R×R\mathbb R^2=\mathbb R\times\mathbb R 的第一坐标使用 O1\mathcal O_1，第二坐标使用 O2\mathcal O_2。令

A={(x,y)∈R2∣x−y>1},B={(x,y)∈R2∣x2+y2≤1}.A=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x-y>1\},\qquad B=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x^2+y^2\le1\}.

分别判断 AA 是否为 (R2,O)(\mathbb R^2,\mathcal O) 的开集、BB 是否为其闭集，并说明理由。

(3) 判断 BB 是否为 (R2,O)(\mathbb R^2,\mathcal O) 的紧集，并说明理由。

Kai​

(1)​

ハウスドルフではなく、連結である。実際、O1\mathcal O_1 の任意の二つの非空開集合は互いに交わる。よって異なる二点を互いに交わらない開近傍で分離できず、また空でない二つの開集合による空間の分離も存在しない。

(2)​

AA は開集合である。(x,y)∈A(x,y)\in A とし、ε=(x−y−1)/3>0\varepsilon=(x-y-1)/3>0 とおくと

(x,y)∈(x−ε,∞)×(y−ε,y+ε)⊂A.(x,y)\in(x-\varepsilon,\infty)\times(y-\varepsilon,y+\varepsilon)\subset A.

右辺の長方形は積位相 O\mathcal O の開集合である。最後の包含は、その点 (u,v)(u,v) に対し u−v>x−y−2ε>1u-v>x-y-2\varepsilon>1 となることによる。

BB は閉集合ではない。(−2,0)∉B(-2,0)\notin B だが、この点を含む任意の基本開集合 U×VU\times V は (0,0)∈B(0,0)\in B を含む。実際、−2∈U∈O1-2\in U\in\mathcal O_1 なら 0∈U0\in U であり、0∈V0\in V である。したがって BB の補集合は開集合ではない。

(3)​

BB はコンパクトである。O1\mathcal O_1 の各元は通常の実数直線でも開いているので、O\mathcal O は R2\mathbb R^2 の通常の位相より粗い。従って恒等写像

(R2,通常の位相)⟶(R2,O)(\mathbb R^2,\text{通常の位相})\longrightarrow(\mathbb R^2,\mathcal O)

は連続である。閉単位円板 BB は通常の位相でコンパクトなので、その連続像である B⊂(R2,O)B\subset(\mathbb R^2,\mathcal O) もコンパクトである。

Reference​

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