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東北大学 理学研究科 数学専攻 2022年8月実施 共通問題 [1]

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Author​

Miyake

Description​

V=M3(R)V = M_3(\mathbb{R}) を３次実正方行列全体のなす実ベクトル空間とし、VV の部分空間 WW を

W={A∈V∣AT=−A}W = \{A \in V \mid A^T = -A\}

と定める。ただし、ATA^T は行列 AA の転置行列を表す。以下の問いに答えよ。

(1) WW の基底を含むような VV の基底を 11 組求めよ。

(2) R∈M3(R)R \in M_3(\mathbb{R}) を固定して、線形写像 f:V→Vf: V \rightarrow V を f(x)=RTXRf(x) = R^TXR と定める。このとき、f(W)⊂Wf(W) \subset W であることを示せ。

(3) R=(−13220−1−112)R = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix} とする。この RR に対して (2) で定めた写像 ff の WW への制限を gg とする。このとき、(1)で求めた WW の基底に関する gg の表現行列 SS を求めよ。

(4) (3)で求めた行列 SS の固有値を全て求めよ。

题目描述​

令 V=M3(R)V=M_3(\mathbb R) 为全体三阶实方阵构成的实向量空间，并定义子空间

W={A∈V∣AT=−A},W=\{A\in V\mid A^T=-A\},

即三阶实反对称矩阵空间。

  1. 求一组 VV 的基，使其中包含一组 WW 的基。
  2. 固定 R∈M3(R)R\in M_3(\mathbb R)，定义线性映射 f:V→V,f(X)=RTXR.f:V\to V,\qquad f(X)=R^TXR. 证明 f(W)⊂Wf(W)\subset W。
  3. 取 R=(−13220−1−112),R=\begin{pmatrix}-1&3&2\\2&0&-1\\-1&1&2\end{pmatrix}, 将 ff 在 WW 上的限制记为 gg。求 gg 关于第 1 问所取 WW 基的表示矩阵 SS。
  4. 求矩阵 SS 的全部特征值。

Kai​

(1)​

WW は3次元であり、例えば、

A1=(010−100000), A2=(001000−100), A3=(0000010−10)\begin{aligned} A_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} , \ A_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} , \ A_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}

は WW の基底である。 VV は9次元であり、例えば、上の A1,A2,A3A_1, A_2, A_3 と

(100000000), (000010000), (000000001), (010100000), (001000100), (000001010)\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} , \ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} , \ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} , \ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} , \ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} , \ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}

を合わせて VV の基底となる。

(2)​

任意の A∈WA \in W について AT=−AA^T = -A であるから、

f(A)T=(RTAR)T=RTATR=−RTAR=−f(A)∴  f(A)∈W\begin{aligned} f(A)^T &= (R^T A R)^T \\ &= R^T A^T R \\ &= - R^T A R \\ &= - f(A) \\ \therefore \ \ f(A) &\in W \end{aligned}

がわかり、これは f(W)⊂Wf(W) \subset W を意味する。

(3)​

g(A1)=−6A1−3A2−3A3g(A2)=2A1+4A3g(A3)=2A1+3A2+A3\begin{aligned} g(A_1) &= -6A_1 - 3A_2 - 3A_3 \\ g(A_2) &= 2A_1 + 4A_3 \\ g(A_3) &= 2A_1 + 3A_2 + A_3 \end{aligned}

であるから、

S=(−622−303−341)\begin{aligned} S &= \begin{pmatrix} -6 & 2 & 2 \\ -3 & 0 & 3 \\ -3 & 4 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

がわかる。

(4)​

−3,−1±13\begin{aligned} -3, -1 \pm \sqrt{13} \end{aligned}
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