東北大学 理学研究科 数学専攻 2022年8月実施 共通問題 [1]

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• Skew-Symmetric-Matrix
• Skew-Symmetric-Subspace-under-Congruence
• Linear-Transformation
• Eigenvalues-and-Eigenvectors

Author

Miyake

Description

$V = M_3(\mathbb{R})$ を３次実正方行列全体のなす実ベクトル空間とし、$V$ の部分空間 $W$ を

$$W = \{A \in V \mid A^T = -A\}$$

と定める。ただし、$A^T$ は行列 $A$ の転置行列を表す。以下の問いに答えよ。

(1) $W$ の基底を含むような $V$ の基底を $1$ 組求めよ。

(2) $R \in M_3(\mathbb{R})$ を固定して、線形写像 $f: V \rightarrow V$ を $f(x) = R^TXR$ と定める。このとき、$f(W) \subset W$ であることを示せ。

(3) $R = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ とする。この $R$ に対して (2) で定めた写像 $f$ の $W$ への制限を $g$ とする。このとき、(1)で求めた $W$ の基底に関する $g$ の表現行列 $S$ を求めよ。

(4) (3)で求めた行列 $S$ の固有値を全て求めよ。

题目描述

令 $V=M_3(\mathbb R)$ 为全体三阶实方阵构成的实向量空间，并定义子空间

$$W=\{A\in V\mid A^T=-A\},$$

即三阶实反对称矩阵空间。

1. 求一组 $V$ 的基，使其中包含一组 $W$ 的基。
2. 固定 $R\in M_3(\mathbb R)$，定义线性映射 $f:V\to V,\qquad f(X)=R^TXR.$ 证明 $f(W)\subset W$。
3. 取 $R=\begin{pmatrix}-1&3&2\\2&0&-1\\-1&1&2\end{pmatrix},$ 将 $f$ 在 $W$ 上的限制记为 $g$。求 $g$ 关于第 1 问所取 $W$ 基的表示矩阵 $S$。
4. 求矩阵 $S$ 的全部特征值。

考点

• 矩阵空间与子空间基：构造反对称矩阵空间的基并扩充为全空间基。
• 线性映射的不变子空间：利用转置运算验证 $R^TXR$ 仍为反对称矩阵。
• 表示矩阵：计算基向量的像并在指定基下展开。
• 特征值：由特征多项式求线性变换在不变子空间上的谱。

Kai

(1)

$W$ は3次元であり、例えば、

$$\begin{aligned} A_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} , \ A_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} , \ A_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

は $W$ の基底である。 $V$ は9次元であり、例えば、上の $A_1, A_2, A_3$ と

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} , \ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} , \ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} , \ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} , \ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} , \ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

を合わせて $V$ の基底となる。

(2)

任意の $A \in W$ について $A^T = -A$ であるから、

$$\begin{aligned} f(A)^T &= (R^T A R)^T \\ &= R^T A^T R \\ &= - R^T A R \\ &= - f(A) \\ \therefore \ \ f(A) &\in W \end{aligned}$$

がわかり、これは $f(W) \subset W$ を意味する。

(3)

$$\begin{aligned} g(A_1) &= -6A_1 - 3A_2 - 3A_3 \\ g(A_2) &= 2A_1 + 4A_3 \\ g(A_3) &= 2A_1 + 3A_2 + A_3 \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} S &= \begin{pmatrix} -6 & 2 & 2 \\ -3 & 0 & 3 \\ -3 & 4 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

がわかる。

(4)

$$\begin{aligned} -3, -1 \pm \sqrt{13} \end{aligned}$$