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東北大学 理学研究科 数学専攻 2021年8月実施 選択問題 [6]

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Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は8題ある。3題を選択して解答すること。

実ヒルベルト空間 (H,(⋅,⋅))(H,(\cdot,\cdot)) 上で定義された線形作用素 A:H→HA:H\to H が

(Ax,x)≥0(x∈H)(Ax,x)\ge0\qquad(x\in H)

を満たすとする。以下の問いに答えよ。

(1) x,f∈Hx,f\in H が

(f−Ay,x−y)≥0(y∈H)(f-Ay,x-y)\ge0\qquad(y\in H)

を満たすとき、f=Axf=Ax が成り立つことを示せ。

(2) AA は閉作用素であることを示せ。すなわち AA のグラフ G(A)={[x,Ax]∈H×H∣x∈H}G(A)=\{[x,Ax]\in H\times H\mid x\in H\} が H×HH\times H のノルム ∥⋅∥H×H\|\cdot\|_{H\times H} によって定まる強位相に関して閉集合となることを示せ。ただし H×HH\times H のノルム ∥⋅∥H×H\|\cdot\|_{H\times H} は ∥[x,y]∥H×H=∥x∥H+∥y∥H\|[x,y]\|_{H\times H}=\|x\|_H+\|y\|_H（[x,y]∈H×H[x,y]\in H\times H）によって定まるものとし、また ∥x∥H=(x,x)\|x\|_H=\sqrt{(x,x)}（x∈Hx\in H）とする。

(3) I+AI+A は全単射であることを示せ。ただし I:H→HI:H\to H は恒等作用素を表す。すなわち Ix=xIx=x（x∈Hx\in H）が成り立つ。

题目描述​

试卷共8题，选择其中3题作答。

设 (H,(⋅,⋅))(H,(\cdot,\cdot)) 为实希尔伯特空间，定义在整个 HH 上的线性算子 A:H→HA:H\to H 满足

(Ax,x)≥0(x∈H).(Ax,x)\ge0\qquad(x\in H).

(1) 若 x,f∈Hx,f\in H 满足对每个 y∈Hy\in H 都有 (f−Ay,x−y)≥0(f-Ay,x-y)\ge0，证明 f=Axf=Ax。

(2) 证明 AA 是闭算子，即图像

G(A)={[x,Ax]∈H×H∣x∈H}G(A)=\{[x,Ax]\in H\times H\mid x\in H\}

在 H×HH\times H 的范数所诱导的强拓扑下是闭集。其中

∥[x,y]∥H×H=∥x∥H+∥y∥H,∥x∥H=(x,x).\|[x,y]\|_{H\times H}=\|x\|_H+\|y\|_H, \qquad\|x\|_H=\sqrt{(x,x)}.

(3) 证明 I+AI+A 是双射，其中 I:H→HI:H\to H 为恒等算子，即 Ix=xIx=x。

Kai​

(1)​

x,fx,f を固定し、任意の h∈Hh\in H と t>0t>0 に対し y=x−thy=x-th とおく。仮定より

0≤(f−A(x−th),th)=t(f−Ax,h)+t2(Ah,h).0\le(f-A(x-th),th) =t(f-Ax,h)+t^2(Ah,h).

tt で割って t↓0t\downarrow0 とすると (f−Ax,h)≥0(f-Ax,h)\ge0 となる。−h-h にも同じ議論を適用すれば (f−Ax,h)=0(f-Ax,h)=0 である。特に h=f−Axh=f-Ax とすれば f=Axf=Ax を得る。

(2)​

xn→xx_n\to x, Axn→fAx_n\to f とする。任意の y∈Hy\in H に対し

(Axn−Ay,xn−y)=(A(xn−y),xn−y)≥0.(Ax_n-Ay,x_n-y)=(A(x_n-y),x_n-y)\ge0.

内積の連続性より極限をとって (f−Ay,x−y)≥0(f-Ay,x-y)\ge0 を得る。(1) から f=Axf=Ax なので AA のグラフは閉じている。

(3)​

B=I+AB=I+A とおく。仮定と Cauchy–Schwarz の不等式より

∥Bu∥ ∥u∥≥(Bu,u)=∥u∥2+(Au,u)≥∥u∥2.\|Bu\|\,\|u\|\ge(Bu,u)=\|u\|^2+(Au,u)\ge\|u\|^2.

従って ∥Bu∥≥∥u∥\|Bu\|\ge\|u\| であり、BB は単射である。

値域の列 Bxn→fBx_n\to f をとると、∥xn−xm∥≤∥Bxn−Bxm∥\|x_n-x_m\|\le\|Bx_n-Bx_m\| なので xnx_n は Cauchy 列である。完備性より xn→xx_n\to x となり、Axn=Bxn−xn→f−xAx_n=Bx_n-x_n\to f-x である。(2) から Ax=f−xAx=f-x、すなわち Bx=fBx=f となるので値域は閉じている。

さらに z⊥Ran⁡Bz\perp\operatorname{Ran}B ならば、特に 0=(Bz,z)≥∥z∥20=(Bz,z)\ge\|z\|^2 なので z=0z=0 である。従って値域は稠密でもあり、Ran⁡B=H\operatorname{Ran}B=H となる。以上より I+AI+A は全単射である。

Reference​

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