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東北大学 理学研究科 数学専攻 2021年8月実施 選択問題 [5]

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Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は8題ある。3題を選択して解答すること。

1≤p<∞1\le p<\infty とし、μ\mu を Rn\mathbb R^n 上のルベーグ測度とする。関数 f:Rn→Rf:\mathbb R^n\to\mathbb R はルベーグ可測であり、∫Rn∣f(x)∣p dμ(x)<∞\int_{\mathbb R^n}|f(x)|^p\,d\mu(x)<\infty を満たすものとする。さらに ff の分布関数を

μf(λ)=μ({x∈Rn∣∣f(x)∣>λ})(λ>0)\mu_f(\lambda)=\mu(\{x\in\mathbb R^n\mid |f(x)|>\lambda\})\qquad(\lambda>0)

によって定義する。以下の問いに答えよ。

(1) 分布関数 μf(λ)\mu_f(\lambda) が λ>0\lambda>0 について広義単調減少であることを示せ。

(2) 任意の λ>0\lambda>0 に対して、次が成り立つことを示せ。

λpμf(λ)≤∫Rn∣f(x)∣p dμ(x)\lambda^p\mu_f(\lambda)\le\int_{\mathbb R^n}|f(x)|^p\,d\mu(x)

(3) 次が成り立つことを示せ。

∫Rn∣f(x)∣p dμ(x)=p∫0∞λp−1μf(λ) dλ\int_{\mathbb R^n}|f(x)|^p\,d\mu(x) =p\int_0^\infty\lambda^{p-1}\mu_f(\lambda)\,d\lambda

(4) 次が成り立つことを示せ。

lim⁡λ→∞λpμf(λ)=0\lim_{\lambda\to\infty}\lambda^p\mu_f(\lambda)=0

题目描述​

试卷共8题，选择其中3题作答。

设 1≤p<∞1\le p<\infty，μ\mu 为 Rn\mathbb R^n 上的勒贝格测度，可测函数 f:Rn→Rf:\mathbb R^n\to\mathbb R 满足 ∫Rn∣f(x)∣p dμ(x)<∞\int_{\mathbb R^n}|f(x)|^p\,d\mu(x)<\infty。定义 ff 的分布函数

μf(λ)=μ({x∈Rn∣∣f(x)∣>λ})(λ>0).\mu_f(\lambda)=\mu(\{x\in\mathbb R^n\mid |f(x)|>\lambda\})\qquad(\lambda>0).

(1) 证明 μf\mu_f 关于 λ>0\lambda>0 单调不增。

(2) 证明对每个 λ>0\lambda>0，

λpμf(λ)≤∫Rn∣f(x)∣p dμ(x).\lambda^p\mu_f(\lambda)\le\int_{\mathbb R^n}|f(x)|^p\,d\mu(x).

(3) 证明

∫Rn∣f(x)∣p dμ(x)=p∫0∞λp−1μf(λ) dλ.\int_{\mathbb R^n}|f(x)|^p\,d\mu(x) =p\int_0^\infty\lambda^{p-1}\mu_f(\lambda)\,d\lambda.

(4) 证明 lim⁡λ→∞λpμf(λ)=0\lim_{\lambda\to\infty}\lambda^p\mu_f(\lambda)=0。

Kai​

(1)​

0<λ1<λ20<\lambda_1<\lambda_2 ならば {∣f∣>λ2}⊂{∣f∣>λ1}\{|f|>\lambda_2\}\subset\{|f|>\lambda_1\} である。測度の単調性より μf(λ2)≤μf(λ1)\mu_f(\lambda_2)\le\mu_f(\lambda_1) となる。

(2)​

λ>0\lambda>0 に対し、

λpμf(λ)=∫{∣f∣>λ}λp dμ≤∫{∣f∣>λ}∣f∣p dμ≤∫Rn∣f∣p dμ.\lambda^p\mu_f(\lambda) =\int_{\{|f|>\lambda\}}\lambda^p\,d\mu \le\int_{\{|f|>\lambda\}}|f|^p\,d\mu \le\int_{\mathbb R^n}|f|^p\,d\mu.

(3)​

各点で ∣f(x)∣p=∫0∞pλp−1χ{λ<∣f(x)∣} dλ|f(x)|^p=\int_0^\infty p\lambda^{p-1}\chi_{\{\lambda<|f(x)|\}}\,d\lambda である。被積分関数は非負なので Tonelli の定理より、

∫Rn∣f∣p dμ=∫0∞pλp−1(∫Rnχ{∣f∣>λ} dμ)dλ=∫0∞pλp−1μf(λ) dλ.\begin{aligned} \int_{\mathbb R^n}|f|^p\,d\mu &=\int_0^\infty p\lambda^{p-1} \left(\int_{\mathbb R^n}\chi_{\{|f|>\lambda\}}\,d\mu\right)d\lambda\\ &=\int_0^\infty p\lambda^{p-1}\mu_f(\lambda)\,d\lambda. \end{aligned}

(4)​

∣f∣p|f|^p は可積分なので ∣f∣<∞|f|<\infty がほとんど至る所成立する。従って ∣f∣pχ{∣f∣>λ}→0|f|^p\chi_{\{|f|>\lambda\}}\to0 がほとんど至る所成立し、優関数として ∣f∣p|f|^p が使える。(2) の評価と優収束定理より、

0≤λpμf(λ)≤∫{∣f∣>λ}∣f∣p dμ⟶0(λ→∞).0\le\lambda^p\mu_f(\lambda) \le\int_{\{|f|>\lambda\}}|f|^p\,d\mu\longrightarrow0 \qquad(\lambda\to\infty).

Reference​

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