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東北大学 理学研究科 数学専攻 2021年8月実施 選択問題 [4]

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Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は 88 題ある。33 題を選択して解答すること。

33 次元ユークリッド空間 R3\mathbb R^3 の標準内積を ⟨⋅,⋅⟩\langle\cdot,\cdot\rangle とし、写像 f:R6=R3×R3→R3f:\mathbb R^6=\mathbb R^3\times\mathbb R^3\to\mathbb R^3 を

f(x,y)=(⟨x,x⟩,⟨y,y⟩,⟨x,y⟩)f(x,y)=(\langle x,x\rangle,\langle y,y\rangle,\langle x,y\rangle)

と定める。また、R3×R3\mathbb R^3\times\mathbb R^3 の部分集合を

U=f−1({(1,1,0)}),V={(x,y)∈U∣⟨x,n⟩=0}U=f^{-1}(\{(1,1,0)\}),\qquad V=\{(x,y)\in U\mid\langle x,n\rangle=0\}

と定める。ここで n=(0,0,1)∈R3n=(0,0,1)\in\mathbb R^3 である。以下の問いに答えよ。

(1) 点 (x,y)=((x1,x2,x3),(y1,y2,y3))∈R3×R3(x,y)=((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))\in\mathbb R^3\times\mathbb R^3 における ff のヤコビ行列 (Jf)(x,y)(Jf)_{(x,y)} を求めよ。

(2) UU は R6\mathbb R^6 の 33 次元部分多様体であることを示せ。

(3) VV は 22 次元トーラス T=S1×S1T=S^1\times S^1 と同相であることを示せ。ここで S1S^1 は単位円周である。

题目描述​

本卷共 88 道题，请选择其中 33 道作答。

用 ⟨⋅,⋅⟩\langle\cdot,\cdot\rangle 表示三维欧氏空间 R3\mathbb R^3 的标准内积，定义映射 f:R6=R3×R3→R3f:\mathbb R^6=\mathbb R^3\times\mathbb R^3\to\mathbb R^3 为

f(x,y)=(⟨x,x⟩,⟨y,y⟩,⟨x,y⟩).f(x,y)=(\langle x,x\rangle,\langle y,y\rangle,\langle x,y\rangle).

定义 R3×R3\mathbb R^3\times\mathbb R^3 的子集

U=f−1({(1,1,0)}),V={(x,y)∈U∣⟨x,n⟩=0},U=f^{-1}(\{(1,1,0)\}),\qquad V=\{(x,y)\in U\mid\langle x,n\rangle=0\},

其中 n=(0,0,1)∈R3n=(0,0,1)\in\mathbb R^3。回答下列问题。

(1) 求 ff 在点 (x,y)=((x1,x2,x3),(y1,y2,y3))∈R3×R3(x,y)=((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))\in\mathbb R^3\times\mathbb R^3 处的雅可比矩阵 (Jf)(x,y)(Jf)_{(x,y)}。

(2) 证明 UU 是 R6\mathbb R^6 的三维子流形。

(3) 证明 VV 与二维环面 T=S1×S1T=S^1\times S^1 同胚，其中 S1S^1 为单位圆周。

Kai​

(1)​

(Jf)(x,y)=(2x12x22x30000002y12y22y3y1y2y3x1x2x3).\boxed{(Jf)_{(x,y)}= \begin{pmatrix} 2x_1&2x_2&2x_3&0&0&0\\ 0&0&0&2y_1&2y_2&2y_3\\ y_1&y_2&y_3&x_1&x_2&x_3 \end{pmatrix}.}

(2)​

(x,y)∈U(x,y)\in U では x,yx,y は正規直交ベクトルである。ヤコビ行列の行ベクトルの線形関係は

2ax+cy=0,2by+cx=02ax+cy=0,\qquad2by+cx=0

と書ける。第 11 式と x,yx,y との内積から a=c=0a=c=0、第 22 式から b=0b=0 が従う。したがってすべての (x,y)∈U(x,y)\in U で rank⁡(Jf)(x,y)=3\operatorname{rank}(Jf)_{(x,y)}=3 となり、(1,1,0)(1,1,0) は ff の正則値である。

UU は例えば ((1,0,0),(0,1,0))((1,0,0),(0,1,0)) を含むから空でない。正則値定理により、UU は 6−3=36-3=3 次元部分多様体である。

(3)​

u=(u1,u2)∈S1u=(u_1,u_2)\in S^1, v=(v1,v2)∈S1v=(v_1,v_2)\in S^1 に対し

Φ(u,v)=((u1,u2,0),(v1u2,−v1u1,v2))\Phi(u,v)=\bigl((u_1,u_2,0),(v_1u_2,-v_1u_1,v_2)\bigr)

と定める。右辺の二つのベクトルを x,yx,y とすると、

∣x∣2=1,∣y∣2=v12(u12+u22)+v22=1,⟨x,y⟩=0,⟨x,n⟩=0|x|^2=1,\quad |y|^2=v_1^2(u_1^2+u_2^2)+v_2^2=1,\quad \langle x,y\rangle=0,\quad\langle x,n\rangle=0

なので、Φ:S1×S1→V\Phi:S^1\times S^1\to V は連続写像である。

逆に (x,y)∈V(x,y)\in V ならば x3=0x_3=0 かつ x12+x22=1x_1^2+x_2^2=1 であり、xx に垂直な平面の正規直交基底は (x2,−x1,0),n(x_2,-x_1,0),n である。よって

y=(y1x2−y2x1)(x2,−x1,0)+y3n,y=(y_1x_2-y_2x_1)(x_2,-x_1,0)+y_3n,

かつ (y1x2−y2x1)2+y32=1(y_1x_2-y_2x_1)^2+y_3^2=1 である。したがって

Ψ(x,y)=((x1,x2),(y1x2−y2x1,y3))\Psi(x,y)=\bigl((x_1,x_2),(y_1x_2-y_2x_1,y_3)\bigr)

は V→S1×S1V\to S^1\times S^1 の連続写像であり、直接代入により Ψ∘Φ=id⁡\Psi\circ\Phi=\operatorname{id}, Φ∘Ψ=id⁡\Phi\circ\Psi=\operatorname{id} が成り立つ。ゆえに Φ\Phi は同相写像である。

Reference​

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