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東北大学 理学研究科 数学専攻 2021年8月実施 選択問題 [3]

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Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は 88 題ある。33 題を選択して解答すること。

ユークリッド空間 R5\mathbb R^5 において、

T={(u,v,x,y,z)∈R5∣u2+v2=1, x2+y2+z2=1},D1={(1,0,x,y,z)∈R5∣x2+y2+z2≤1},D2={(−1,0,x,y,z)∈R5∣x2+y2+z2≤1}\begin{aligned} T&=\{(u,v,x,y,z)\in\mathbb R^5\mid u^2+v^2=1,\ x^2+y^2+z^2=1\},\\ D_1&=\{(1,0,x,y,z)\in\mathbb R^5\mid x^2+y^2+z^2\le1\},\\ D_2&=\{(-1,0,x,y,z)\in\mathbb R^5\mid x^2+y^2+z^2\le1\} \end{aligned}

とおく。R5\mathbb R^5 の部分位相空間

X=(T∩{(u,v,x,y,z)∈R5∣v≥0})∪D1,Y=(T∩{(u,v,x,y,z)∈R5∣v≤0})∪D2,Z=X∪Y\begin{aligned} X&=(T\cap\{(u,v,x,y,z)\in\mathbb R^5\mid v\ge0\})\cup D_1,\\ Y&=(T\cap\{(u,v,x,y,z)\in\mathbb R^5\mid v\le0\})\cup D_2,\\ Z&=X\cup Y \end{aligned}

を考える。

(1) XX が 33 次元閉球体 B3={(x,y,z)∈R3∣x2+y2+z2≤1}B^3=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x^2+y^2+z^2\le1\} とホモトピー同値であることを示せ。

(2) 非負整数 qq に対し、ZZ の整係数ホモロジー群 Hq(Z)H_q(Z) を求めよ。

题目描述​

本卷共 88 道题，请选择其中 33 道作答。

在欧氏空间 R5\mathbb R^5 中，令

T={(u,v,x,y,z)∈R5∣u2+v2=1, x2+y2+z2=1},D1={(1,0,x,y,z)∈R5∣x2+y2+z2≤1},D2={(−1,0,x,y,z)∈R5∣x2+y2+z2≤1}.\begin{aligned} T&=\{(u,v,x,y,z)\in\mathbb R^5\mid u^2+v^2=1,\ x^2+y^2+z^2=1\},\\ D_1&=\{(1,0,x,y,z)\in\mathbb R^5\mid x^2+y^2+z^2\le1\},\\ D_2&=\{(-1,0,x,y,z)\in\mathbb R^5\mid x^2+y^2+z^2\le1\}. \end{aligned}

考虑 R5\mathbb R^5 的子拓扑空间

X=(T∩{(u,v,x,y,z)∈R5∣v≥0})∪D1,Y=(T∩{(u,v,x,y,z)∈R5∣v≤0})∪D2,Z=X∪Y.\begin{aligned} X&=(T\cap\{(u,v,x,y,z)\in\mathbb R^5\mid v\ge0\})\cup D_1,\\ Y&=(T\cap\{(u,v,x,y,z)\in\mathbb R^5\mid v\le0\})\cup D_2,\\ Z&=X\cup Y. \end{aligned}

(1) 证明 XX 与三维闭球体 B3={(x,y,z)∈R3∣x2+y2+z2≤1}B^3=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x^2+y^2+z^2\le1\} 同伦等价。

(2) 对非负整数 qq，求 ZZ 的整数系数同调群 Hq(Z)H_q(Z)。

Kai​

(1)​

w=(x,y,z)w=(x,y,z) と略記する。上半円を (u,v)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(u,v)=(\cos\theta,\sin\theta), 0≤θ≤π0\le\theta\le\pi と表示し、XX 上のホモトピーを

H((cos⁡θ,sin⁡θ,w),s)=(cos⁡((1−s)θ),sin⁡((1−s)θ),w)(∣w∣=1)H((\cos\theta,\sin\theta,w),s) =\bigl(\cos((1-s)\theta),\sin((1-s)\theta),w\bigr) \quad(|w|=1)

および D1D_1 上では H(a,s)=aH(a,s)=a と定める。両定義は共通部分 θ=0, ∣w∣=1\theta=0,\ |w|=1 上で一致するので、HH は連続である。

H(⋅,0)=id⁡XH(\cdot,0)=\operatorname{id}_X であり、H(⋅,1)H(\cdot,1) は XX を D1D_1 へ写し、すべての時刻で D1D_1 を固定する。よって D1D_1 は XX の強変形レトラクトであり、D1≅B3D_1\cong B^3 なので X≃B3X\simeq B^3 である。

(2)​

下半円を (−cos⁡θ,−sin⁡θ)(-\cos\theta,-\sin\theta), 0≤θ≤π0\le\theta\le\pi と表せば、(1) と同様に YY は D2D_2 へ強変形レトラクトする。したがって X,YX,Y はともに可縮である。また

X∩Y=({(1,0)}×S2)⊔({(−1,0)}×S2).X\cap Y= \bigl(\{(1,0)\}\times S^2\bigr) \sqcup\bigl(\{(-1,0)\}\times S^2\bigr).

円周を上下二本の辺に分けた CW 分解と S2S^2 の CW 分解を用い、D1,D2D_1,D_2 を各端の球面に付加すれば、X,Y,X∩YX,Y,X\cap Y を部分複体とする CW 分解が得られる。この分解に対する Mayer–Vietoris 完全列を用いる。

X,YX,Y が可縮で、H2(X∩Y)≅Z2H_2(X\cap Y)\cong\mathbb Z^2 であることから

H3(Z)≅Z2,H2(Z)=0,Hq(Z)=0(q≥4).H_3(Z)\cong\mathbb Z^2,\qquad H_2(Z)=0,\qquad H_q(Z)=0\quad(q\ge4).

低次の部分は

0⟶H1(Z)⟶Z2→ϕZ2⟶H0(Z)⟶0,ϕ(a,b)=(a+b,−a−b).0\longrightarrow H_1(Z)\longrightarrow\mathbb Z^2 \xrightarrow{\phi}\mathbb Z^2\longrightarrow H_0(Z)\longrightarrow0, \qquad\phi(a,b)=(a+b,-a-b).

したがって ker⁡ϕ≅Z\ker\phi\cong\mathbb Z, coker⁡ϕ≅Z\operatorname{coker}\phi\cong\mathbb Z であり、

Hq(Z)≅{Z(q=0,1),Z2(q=3),0(q=2 または q≥4).\boxed{H_q(Z)\cong \begin{cases} \mathbb Z &(q=0,1),\\ \mathbb Z^2 &(q=3),\\ 0 &(q=2\text{ または }q\ge4). \end{cases}}

Reference​

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