東北大学 理学研究科 数学専攻 2021年8月実施 共通問題 [2]

标签：

• 东北大学
• 开集与闭集
• 豪斯多夫空间
• 连续映射与同胚

Author

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

問題は $4$ 題ある。全問に解答すること。

$n\in\mathbb Z_{>0}$ と $b\in\mathbb Z$ に対し、

$$A_{n,b}=\{5^nt+b\mid t\in\mathbb Z\}$$

とおく。$\mathbb Z$ の部分集合族 $\mathcal B=\{A_{n,b}\mid n\in\mathbb Z_{>0},b\in\mathbb Z\}$ に対し、$\mathcal O$ を $\mathcal B$ を開基とする $\mathbb Z$ の位相（開集合系）と定める。

(1) $A_{1,3}$ が位相空間 $(\mathbb Z,\mathcal O)$ の閉集合であることを示せ。

(2) 位相空間 $(\mathbb Z,\mathcal O)$ がハウスドルフであることを示せ。

(3) $f:(\mathbb Z,\mathcal O)\to(\mathbb Z,\mathcal O)$ を以下で定める。$x\in\mathbb Z$ に対し、$x\in A_{1,0}$ のとき $f(x)=x/5$、それ以外のとき $f(x)=x$。このとき、$f$ が連続であるかどうか、理由とともに答えよ。

题目描述

试卷共 $4$ 道题，全部作答。

对正整数 $n\in\mathbb Z_{>0}$ 和整数 $b\in\mathbb Z$，令

$$A_{n,b}=\{5^nt+b\mid t\in\mathbb Z\}.$$

令 $\mathcal B=\{A_{n,b}\mid n\in\mathbb Z_{>0},b\in\mathbb Z\}$，并将 $\mathcal O$ 定义为以 $\mathcal B$ 为基的 $\mathbb Z$ 上的拓扑（开集族）。

(1) 证明 $A_{1,3}$ 是 $(\mathbb Z,\mathcal O)$ 的闭集。

(2) 证明 $(\mathbb Z,\mathcal O)$ 是豪斯多夫空间。

(3) 定义映射 $f:(\mathbb Z,\mathcal O)\to(\mathbb Z,\mathcal O)$：当 $x\in A_{1,0}$ 时，$f(x)=x/5$；否则 $f(x)=x$。判断 $f$ 是否连续，并说明理由。

Kai

(1)

$$\mathbb Z\setminus A_{1,3}=A_{1,0}\cup A_{1,1}\cup A_{1,2}\cup A_{1,4}$$

は開基の元の和であるから開集合である。従って $A_{1,3}$ は閉集合である。

(2)

$x\ne y$ を任意に取り、$5^n>|x-y|$ となる正の整数 $n$ を取る。$A_{n,x}$ と $A_{n,y}$ はそれぞれ $x,y$ を含む開集合である。この二集合が交われば $x\equiv y\pmod{5^n}$ となるが、$0<|x-y|<5^n$ に反する。従って両者は交わらず、空間はハウスドルフである。

(3)

開基の各元の逆像が開集合であることを示せばよい。定義より

$$f^{-1}(A_{m,b})=A_{m+1,5b}\cup\bigl(A_{m,b}\setminus A_{1,0}\bigr).$$

第一項は開基の元である。また (1) と同様に $A_{1,0}$ は閉集合なので、第二項は二つの開集合 $A_{m,b}$ と $\mathbb Z\setminus A_{1,0}$ の共通部分であり開いている。従って $f^{-1}(A_{m,b})$ は開集合となり、$f$ は連続である。

Reference

• 東北大学原問題の公開保存版（2022年度・共通問題、PDF 2ページ）
• L^2：2022年度の解答