東北大学理学研究科数学専攻 2021年8月実施共通問題 [1]

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祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

問題は $4$ 題ある。全問に解答すること。

$A$ を次の二条件を満たすような実 $3$ 次正方行列とする。

(i) $v=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$ は $(A-2I)^2v=0$ かつ $(A-2I)v\ne0$ を満たす。ここで $I$ は $3$ 次単位行列である。

(ii) $e_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ 、 $e_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ はともに $A$ の固有値 $2$ の固有ベクトルである。

以下の問いに答えよ。

(1) $(p,q)\ne(0,0)$ を満たす実数 $p,q$ で、 $(A-2I)v=pe_2+qe_3$ を満たすものが存在することを示せ。

(2) 前問で得られた実数 $p,q$ について、 $A=\begin{pmatrix}2&0&0\\p&2&0\\q&0&2\end{pmatrix}$ が成り立つことを示せ。

试卷共 $4$ 道题，全部作答。

设 $A$ 为满足以下两个条件的三阶实方阵。

(i) $v=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$ 满足 $(A-2I)^2v=0$ 且 $(A-2I)v\ne0$ ，其中 $I$ 为三阶单位矩阵。

(ii) $e_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ 、 $e_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ 都是 $A$ 的特征值 $2$ 对应的特征向量。

回答下列问题。

(1) 证明存在实数 $p,q$ ，满足 $(p,q)\ne(0,0)$ 且 $(A-2I)v=pe_2+qe_3$ 。

(2) 对于上一问得到的实数 $p,q$ ，证明 $A=\begin{pmatrix}2&0&0\\p&2&0\\q&0&2\end{pmatrix}$ 。

固有値 $2$ の固有空間を $E=\ker(A-2I)$ とおく。条件 (ii) より一次独立な $e_2,e_3$ が $E$ に属するので $\dim E\ge2$ である。一方、条件 (i) より $v\notin E$ であるから $\dim E<3$ である。従って

E=\mathbb R e_2\oplus\mathbb R e_3.

$w=(A-2I)v$ とおくと、条件 (i) より $w\ne0$ かつ $(A-2I)w=0$ 、すなわち $w\in E$ である。よって、ある $p,q\in\mathbb R$ が存在して

(A-2I)v=pe_2+qe_3

となり、 $w\ne0$ から $(p,q)\ne(0,0)$ である。

$Ae_2=2e_2$ 、 $Ae_3=2e_3$ から、 $A$ の第 $2,3$ 列は定まり、

A=\begin{pmatrix}a&0&0\\b&2&0\\c&0&2\end{pmatrix}.

$v={}^t(1,2,3)$ であるから、(1) の等式は

\begin{pmatrix}a-2\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\p\\q\end{pmatrix}

となる。よって

A=\begin{pmatrix}2&0&0\\p&2&0\\q&0&2\end{pmatrix},\qquad (p,q)\ne(0,0).