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東北大学 理学研究科 数学専攻 2020年8月実施 選択問題 [6]

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Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は8題ある。3題を選択して解答すること。

(H,(⋅,⋅))(H,(\cdot,\cdot)) を実ヒルベルト空間とし、KK を空でない HH の閉凸部分集合とする。また、f∈Hf\in H とする。以下の問いに答えよ。

(1) ∥f−u∥=inf⁡v∈K∥f−v∥\displaystyle\|f-u\|=\inf_{v\in K}\|f-v\| が成り立つような u∈Ku\in K が存在することを示せ。ただし、∥w∥=(w,w)\|w\|=\sqrt{(w,w)} である。

(2) (1) の uu に対して

(f−u,v−u)≤0(v∈K)(f-u,v-u)\le0\qquad(v\in K)

が成り立つことを示せ。

(3) (1) の uu は一意であることを示せ。

题目描述​

试卷共8题，选择其中3题作答。

设 (H,(⋅,⋅))(H,(\cdot,\cdot)) 为实希尔伯特空间，KK 为 HH 的非空闭凸子集，f∈Hf\in H。回答下列问题。

(1) 证明存在 u∈Ku\in K，使 ∥f−u∥=inf⁡v∈K∥f−v∥\displaystyle\|f-u\|=\inf_{v\in K}\|f-v\|。这里 ∥w∥=(w,w)\|w\|=\sqrt{(w,w)}。

(2) 对第 (1) 问中的 uu，证明

(f−u,v−u)≤0(v∈K).(f-u,v-u)\le0\qquad(v\in K).

(3) 证明第 (1) 问中的 uu 唯一。

Kai​

(1)​

d=inf⁡v∈K∥f−v∥d=\inf_{v\in K}\|f-v\| とし、∥f−vn∥→d\|f-v_n\|\to d を満たす列 vn∈Kv_n\in K をとる。中線定理と KK の凸性により、

∥vn−vm∥2=2∥f−vn∥2+2∥f−vm∥2−4∥f−vn+vm2∥2≤2∥f−vn∥2+2∥f−vm∥2−4d2⟶0.\begin{aligned} \|v_n-v_m\|^2 &=2\|f-v_n\|^2+2\|f-v_m\|^2 -4\left\|f-\frac{v_n+v_m}{2}\right\|^2\\ &\le2\|f-v_n\|^2+2\|f-v_m\|^2-4d^2\longrightarrow0. \end{aligned}

よって (vn)(v_n) は Cauchy 列である。HH の完備性と KK の閉性からある u∈Ku\in K に収束し、ノルムの連続性により ∥f−u∥=d\|f-u\|=d となる。

(2)​

(1) の最小点 uu と任意の v∈Kv\in K に対し、u+t(v−u)∈Ku+t(v-u)\in K（0≤t≤10\le t\le1）なので

∥f−u∥2≤∥f−u−t(v−u)∥2=∥f−u∥2−2t(f−u,v−u)+t2∥v−u∥2.\|f-u\|^2\le\|f-u-t(v-u)\|^2 =\|f-u\|^2-2t(f-u,v-u)+t^2\|v-u\|^2.

t>0t>0 で割って t↓0t\downarrow0 とすれば (f−u,v−u)≤0(f-u,v-u)\le0、すなわち (f−u,u−v)≥0(f-u,u-v)\ge0 を得る。

(3)​

u1,u2u_1,u_2 がともに最小点ならば、(2) により

(f−u1,u2−u1)≤0,(f−u2,u1−u2)≤0.(f-u_1,u_2-u_1)\le0,\qquad(f-u_2,u_1-u_2)\le0.

両式を加えると ∥u1−u2∥2≤0\|u_1-u_2\|^2\le0 となる。従って u1=u2u_1=u_2 であり、最小点は一意である。

Reference​

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