東北大学理学研究科数学専攻 2020年8月実施選択問題 [5]

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祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

問題は8題ある。3題を選択して解答すること。

$1$ より真に大きい二つの実数 $p,q$ が

\frac1p+\frac1q=1

を満たすとする。 $\mathbb R$ 上のルベーグ可測関数 $f,g$ と $\mathbb R$ 上のルベーグ可測関数の列 $\{g_n\}_{n=1}^\infty$ が、次の条件 (i), (ii), (iii) をすべて満たすとする。

(i) $f$ は非負値で $\displaystyle\int_{\mathbb R}\{f(x)\}^p m(dx)<\infty$ 。

(ii) $\displaystyle\sup_{n\ge1}\int_{\mathbb R}|g_n(x)|^q m(dx)<\infty$ 。

(iii) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb R}|g_n(x)-g(x)|m(dx)=0$ 。

ただし、 $m$ は $\mathbb R$ 上のルベーグ測度である。以下の問いに答えよ。

(1) $\displaystyle\sup_{n\ge1}\int_{\mathbb R}f(x)|g_n(x)|m(dx)<\infty$ が成り立つことを示せ。

(2) $\displaystyle\int_{\mathbb R}|g(x)|^q m(dx)<\infty$ が成り立つことを示せ。

(3) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb R}f(x)g_n(x)m(dx)=\int_{\mathbb R}f(x)g(x)m(dx)$ が成り立つことを示せ。

试卷共8题，选择其中3题作答。

设实数 $p,q>1$ 满足 $1/p+1/q=1$ 。 $\mathbb R$ 上的勒贝格可测函数 $f,g$ 及可测函数列 $\{g_n\}_{n=1}^\infty$ 满足以下所有条件，其中 $m$ 为 $\mathbb R$ 上的勒贝格测度。

(i) $f$ 非负，且 $\displaystyle\int_{\mathbb R}\{f(x)\}^p m(dx)<\infty$ 。

(ii) $\displaystyle\sup_{n\ge1}\int_{\mathbb R}|g_n(x)|^q m(dx)<\infty$ 。

(iii) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb R}|g_n(x)-g(x)|m(dx)=0$ 。

回答下列问题。

(1) 证明 $\displaystyle\sup_{n\ge1}\int_{\mathbb R}f(x)|g_n(x)|m(dx)<\infty$ 。

(2) 证明 $\displaystyle\int_{\mathbb R}|g(x)|^q m(dx)<\infty$ 。

(3) 证明 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb R}f(x)g_n(x)m(dx)=\int_{\mathbb R}f(x)g(x)m(dx)$ 。

$C=\|f\|_p$ , $M=\sup_n\|g_n\|_q<\infty$ とする。Hölder の不等式より、

\sup_n\int_{\mathbb R}f|g_n|\,dm \le C M<\infty.

仮定 (iii) の $L^1$ 収束から、 $g_{n_j}\to g$ がほとんど至る所成立する部分列を選べる。Fatou の補題より、

\int_{\mathbb R}|g|^q\,dm \le\liminf_{j\to\infty}\int_{\mathbb R}|g_{n_j}|^q\,dm \le M^q<\infty.

(2) より $\|g\|_q\le M$ なので、 $\|g_n-g\|_q\le2M$ である。任意の $K>0$ に対し、Hölder の不等式から

\begin{aligned} \int_{\mathbb R}f|g_n-g|\,dm &\le 2M\left(\int_{\{f>K\}}f^p\,dm\right)^{1/p} +K\|g_n-g\|_1. \end{aligned}

$K$ を固定して $n\to\infty$ とすれば第2項は消え、その後 $K\to\infty$ とすれば第1項も消える。従って $\int f|g_n-g|\,dm\to0$ であり、

\left|\int_{\mathbb R}fg_n\,dm-\int_{\mathbb R}fg\,dm\right| \le\int_{\mathbb R}f|g_n-g|\,dm\longrightarrow0.