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東北大学 理学研究科 数学専攻 2020年8月実施 選択問題 [4]

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Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は 88 題ある。33 題を選択して解答すること。

RP3\mathbb{RP}^3 を 33 次元実射影空間として、π:R4∖{(0,0,0,0)}→RP3\pi:\mathbb R^4\setminus\{(0,0,0,0)\}\to\mathbb{RP}^3 を自然な射影とする。(x1,x2,x3,x4)∈R4∖{(0,0,0,0)}(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb R^4\setminus\{(0,0,0,0)\} に対して RP3\mathbb{RP}^3 の点 π(x1,x2,x3,x4)\pi(x_1,x_2,x_3,x_4) を [x1:x2:x3:x4][x_1:x_2:x_3:x_4] と書く。以下の問いに答えよ。

(1) 次の式で定義される f:RP3→Rf:\mathbb{RP}^3\to\mathbb R は RP3\mathbb{RP}^3 上の C∞C^\infty 級関数になるかどうか、理由とともに答えよ。

f([x1:x2:x3:x4])=x12+x22+x32−x42x12+x22+x32+x42f([x_1:x_2:x_3:x_4])= \frac{x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_4^2}{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2}

ただし、RP3\mathbb{RP}^3 には π\pi が C∞C^\infty 級写像となるように C∞C^\infty 級多様体の構造を定めるものとする。

(2) f−1(0)f^{-1}(0) は RP3\mathbb{RP}^3 内の部分多様体であるかどうか、理由とともに答えよ。

题目描述​

本卷共 88 道题，请选择其中 33 道作答。

令 RP3\mathbb{RP}^3 为三维实射影空间，π:R4∖{(0,0,0,0)}→RP3\pi:\mathbb R^4\setminus\{(0,0,0,0)\}\to\mathbb{RP}^3 为自然投影。对 (x1,x2,x3,x4)∈R4∖{(0,0,0,0)}(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb R^4\setminus\{(0,0,0,0)\}，将对应的点 π(x1,x2,x3,x4)\pi(x_1,x_2,x_3,x_4) 记为 [x1:x2:x3:x4][x_1:x_2:x_3:x_4]。回答下列问题。

(1) 判断下式定义的 f:RP3→Rf:\mathbb{RP}^3\to\mathbb R 是否为 RP3\mathbb{RP}^3 上的 C∞C^\infty 函数，并说明理由：

f([x1:x2:x3:x4])=x12+x22+x32−x42x12+x22+x32+x42.f([x_1:x_2:x_3:x_4])= \frac{x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_4^2}{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2}.

这里赋予 RP3\mathbb{RP}^3 使 π\pi 成为 C∞C^\infty 映射的 C∞C^\infty 流形结构。

(2) 判断 f−1(0)f^{-1}(0) 是否为 RP3\mathbb{RP}^3 内的子流形，并说明理由。

Kai​

(1)​

λ≠0\lambda\ne0 に対して各座標を λ\lambda 倍すると、分子と分母がともに λ2\lambda^2 倍されるので比は変わらない。また分母は定義域上で正である。したがって ff は代表元によらず定まる。

Ui={[x1:x2:x3:x4]∣xi≠0}U_i=\{[x_1:x_2:x_3:x_4]\mid x_i\ne0\} 上では xi=1x_i=1 と正規化し、残りの比 xj/xix_j/x_i（j≠ij\ne i）を局所座標に取る。この座標で ff は多項式の比であり、分母は 1+∑j≠i(xj/xi)2>01+\sum_{j\ne i}(x_j/x_i)^2>0 である。従ってどの局所座標でも C∞C^\infty 級であり、

f は RP3 上の C∞ 級関数である。\boxed{f\text{ は }\mathbb{RP}^3\text{ 上の }C^\infty\text{ 級関数である。}}

(2)​

f([x])=0f([x])=0 のとき x12+x22+x32=x42x_1^2+x_2^2+x_3^2=x_4^2 である。x4=0x_4=0 なら全座標が 00 になるので、零点集合はすべて U4U_4 に含まれる。

U4U_4 の座標 u=(x1/x4,x2/x4,x3/x4)∈R3u=(x_1/x_4,x_2/x_4,x_3/x_4)\in\mathbb R^3 を使うと

f(u)=∥u∥2−1∥u∥2+1,∇f(u)=4u(∥u∥2+1)2.f(u)=\frac{\|u\|^2-1}{\|u\|^2+1},\qquad \nabla f(u)=\frac{4u}{(\|u\|^2+1)^2}.

零点集合では ∥u∥=1\|u\|=1 なので ∇f(u)=u≠0\nabla f(u)=u\ne0。したがって 00 は正則値であり、

f−1(0) は RP3 の 2 次元 C∞ 級部分多様体である。\boxed{f^{-1}(0)\text{ は }\mathbb{RP}^3\text{ の }2\text{ 次元 }C^\infty\text{ 級部分多様体である。}}

実際、上の座標によって f−1(0)f^{-1}(0) は単位球面 S2S^2 と微分同相である。

Reference​

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