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東北大学 理学研究科 数学専攻 2020年8月実施 選択問題 [3]

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Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は 88 題ある。33 題を選択して解答すること。

ユークリッド空間 R3\mathbb R^3 の次の部分位相空間 XX の整係数ホモロジー群 Hk(X;Z)H_k(X;\mathbb Z)（k=0,1,2,…k=0,1,2,\ldots）をすべて求めよ。

X={(x,y,z)∣y2+z2≤2, x=−1,0,1}∪{(x,y,z)∣y2+z2=1, −1≤x≤1}.X=\{(x,y,z)\mid y^2+z^2\le2,\ x=-1,0,1\} \cup\{(x,y,z)\mid y^2+z^2=1,\ -1\le x\le1\}.

题目描述​

本卷共 88 道题，请选择其中 33 道作答。

求欧氏空间 R3\mathbb R^3 的下列子拓扑空间 XX 的全部整系数同调群 Hk(X;Z)H_k(X;\mathbb Z)（k=0,1,2,…k=0,1,2,\ldots）：

X={(x,y,z)∣y2+z2≤2, x=−1,0,1}∪{(x,y,z)∣y2+z2=1, −1≤x≤1}.X=\{(x,y,z)\mid y^2+z^2\le2,\ x=-1,0,1\} \cup\{(x,y,z)\mid y^2+z^2=1,\ -1\le x\le1\}.

Kai​

x=−1,0,1x=-1,0,1 に置かれた半径 2\sqrt2 の三枚の円板と、半径 11 の円柱面を考える。各円板の半径 11 より外の部分を半径方向に収縮し、半径 11 以下の部分と円柱面を固定する。具体的には ρ=y2+z2>1\rho=\sqrt{y^2+z^2}>1 の点を

(x,y,z)⟼(x,(1−t)ρ+tρy,(1−t)ρ+tρz)(x,y,z)\longmapsto \left(x,\frac{(1-t)\rho+t}{\rho}y,\frac{(1-t)\rho+t}{\rho}z\right)

と動かし、ρ≤1\rho\le1 の点は固定すればよい。これにより XX は、円柱面と半径 11 の三枚の円板からなる空間 X′X' に強変形収縮する。

X′X' のうち −1≤x≤0-1\le x\le0 の部分を PP、0≤x≤10\le x\le1 の部分を QQ とする。どちらも閉円柱の境界なので P≅S2P\cong S^2、Q≅S2Q\cong S^2 であり、共通部分は中央の円板

P∩Q={(0,y,z)∣y2+z2≤1}≅D2P\cap Q=\{(0,y,z)\mid y^2+z^2\le1\}\cong D^2

である。中央の円板を部分複体とする CW 分割を取って、被約 Mayer–Vietoris 完全列を適用すると、P∩QP\cap Q は可縮なので、すべての正次数について

H~k(X′;Z)≅H~k(P;Z)⊕H~k(Q;Z).\widetilde H_k(X';\mathbb Z) \cong\widetilde H_k(P;\mathbb Z)\oplus\widetilde H_k(Q;\mathbb Z).

さらに X′X' は連結である。従って X≃X′X\simeq X' より

Hk(X;Z)≅{Zk=0,Z2k=2,0k=1 または k≥3.\boxed{ H_k(X;\mathbb Z)\cong \begin{cases} \mathbb Z & k=0,\\ \mathbb Z^2 & k=2,\\ 0 & k=1\text{ または }k\ge3. \end{cases}}

Reference​

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