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東北大学 大学院理学研究科 数学専攻 2020年8月実施 共通問題 問題4

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Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は4題ある．全問に解答すること．

以下の問いに答えよ．

(1) 極限

lim⁡x→1log⁡x−a0−a1(x−1)−a2(x−1)2(x−1)3\lim_{x\to1}\frac{\log x-a_0-a_1(x-1)-a_2(x-1)^2}{(x-1)^3}

が有限確定となるような実数 a0,a1,a2a_0,a_1,a_2 を求めよ．

(2) 極限

lim⁡ε→+0(∫1/21−ε+∫1+ε3/2)log⁡x(x−1)2 dx\lim_{\varepsilon\to+0}\left(\int_{1/2}^{1-\varepsilon}+\int_{1+\varepsilon}^{3/2}\right)\frac{\log x}{(x-1)^2}\,dx

が存在することを示せ．

题目描述​

本卷共有4题，全部作答。

回答下列问题。

(1) 求使下列极限存在且为有限值的实数 a0,a1,a2a_0,a_1,a_2：

lim⁡x→1log⁡x−a0−a1(x−1)−a2(x−1)2(x−1)3.\lim_{x\to1}\frac{\log x-a_0-a_1(x-1)-a_2(x-1)^2}{(x-1)^3}.

(2) 证明下列极限存在：

lim⁡ε→+0(∫1/21−ε+∫1+ε3/2)log⁡x(x−1)2 dx.\lim_{\varepsilon\to+0}\left(\int_{1/2}^{1-\varepsilon}+\int_{1+\varepsilon}^{3/2}\right)\frac{\log x}{(x-1)^2}\,dx.

Kai​

(1)​

h=x−1h=x-1 とおく．テイラー展開

log⁡(1+h)=h−h22+h33+O(h4)\log(1+h)=h-\frac{h^2}{2}+\frac{h^3}{3}+O(h^4)

より，分子は

−a0+(1−a1)h+(−12−a2)h2+13h3+O(h4).-a_0+(1-a_1)h+\left(-\frac12-a_2\right)h^2+\frac13h^3+O(h^4).

h3h^3 で割った極限が有限となるには，次数 0,1,20,1,2 の係数がすべて 00 であることが必要十分である．したがって

a0=0,a1=1,a2=−12.\boxed{a_0=0,\qquad a_1=1,\qquad a_2=-\frac12}.

このとき極限値は 1/31/3 である．

(2)​

x≠1x\ne1 に対して

R(x)=log⁡x−(x−1)(x−1)2R(x)=\frac{\log x-(x-1)}{(x-1)^2}

とおく．(1) の展開から R(x)→−1/2R(x)\to-1/2（x→1x\to1）なので，R(1)=−1/2R(1)=-1/2 と定めれば RR は [1/2,3/2][1/2,3/2] 上の連続関数となる．

log⁡x(x−1)2=1x−1+R(x)\frac{\log x}{(x-1)^2}=\frac1{x-1}+R(x)

であり，0<ε<1/20<\varepsilon<1/2 について

(∫1/21−ε+∫1+ε3/2)dxx−1=0.\left(\int_{1/2}^{1-\varepsilon}+\int_{1+\varepsilon}^{3/2}\right)\frac{dx}{x-1}=0.

したがって求める極限は ∫1/23/2R(x) dx\int_{1/2}^{3/2}R(x)\,dx に等しく，有限に存在する．

Reference​

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