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東北大学 理学研究科 数学専攻 2020年8月実施 共通問題 [2]

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Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は 44 題ある。全問に解答すること。Q\mathbb Q、R\mathbb R はそれぞれ有理数全体、実数全体のなす集合を表す。

実数全体のなす集合 R\mathbb R にユークリッド距離位相を入れておく。R\mathbb R の同値関係 ∼\sim を二つの実数 x,yx,y に対して

x∼y⟺x−y が有理数x\sim y\Longleftrightarrow x-y\text{ が有理数}

と定義し、商集合 R/∼\mathbb R/\sim を XX とおく。XX に自然な射影 π:R→X\pi:\mathbb R\to X から定まる商位相を入れる。以下の問いに答えよ。

(1) 位相空間 XX は連結かどうか、理由とともに答えよ。

(2) 位相空間 XX はコンパクトかどうか、理由とともに答えよ。

(3) 位相空間 XX はハウスドルフかどうか、理由とともに答えよ。

题目描述​

试卷共 44 道题，全部作答。Q\mathbb Q、R\mathbb R 分别表示有理数集和实数集。

在实数集 R\mathbb R 上赋予欧几里得距离拓扑。对于实数 x,yx,y，定义等价关系

x∼y⟺x−y 是有理数.x\sim y\Longleftrightarrow x-y\text{ 是有理数}.

令 X=R/∼X=\mathbb R/\sim，并在 XX 上赋予由自然投影 π:R→X\pi:\mathbb R\to X 所确定的商拓扑。回答下列问题，并说明理由。

(1) 拓扑空间 XX 是否连通？

(2) 拓扑空间 XX 是否紧致？

(3) 拓扑空间 XX 是否为豪斯多夫空间？

Kai​

(1)​

標準的射影 π:R→X\pi:\mathbb R\to X は連続な全射であり、R\mathbb R は連結なので、その像 XX も連結である。

(2)​

任意の実数 xx に対し整数 kk を選んで x−k∈[0,1]x-k\in[0,1] とできる。整数は有理数であるから [x]=[x−k][x]=[x-k] となり、π([0,1])=X\pi([0,1])=X である。従って XX はコンパクト集合 [0,1][0,1] の連続像であり、コンパクトである。

(3)​

ハウスドルフではない。もしハウスドルフなら一点集合 {[0]}\{[0]\} は閉集合となる。π\pi の連続性より、その逆像

π−1({[0]})=Q\pi^{-1}(\{[0]\})=\mathbb Q

も R\mathbb R の閉集合になるはずだが、Q\mathbb Q は閉集合ではない。従って矛盾する。

Reference​

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