東北大学理学研究科数学専攻 2020年8月実施共通問題 [1]

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祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

問題は $4$ 題ある。全問に解答すること。 $\mathbb R$ は実数全体のなす集合を表す。

$V$ を $2$ 次実正方行列全体のなす線形空間とし、 $V$ の部分空間 $W$ を

W=\{Z\in V\mid\operatorname{tr}(Z)=0\}

と定める。ただし、 $\operatorname{tr}(Z)$ は $Z$ のトレースのことである。 $2$ 次実正方行列 $A=\begin{pmatrix}10&1\\-4&5\end{pmatrix}$ に対して

f(X)=AX-XA

で線形写像 $f:V\to V$ を定める。以下の問いに答えよ。

(1) $f(W)\subset W$ を示せ。

(2) $f$ を $W$ 上に制限した線形写像を $g:W\to W$ と表す。 $W$ の基底

e_1=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\quad e_2=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\quad e_3=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}

に関する $g$ の表現行列 $R$ を求めよ。

(3) (2) で求めた行列 $R$ の固有値をすべて求めよ。

试卷共 $4$ 道题，全部作答。 $\mathbb R$ 表示实数集。

设 $V$ 为全体二阶实方阵组成的线性空间，并定义其子空间

W=\{Z\in V\mid\operatorname{tr}(Z)=0\},

其中 $\operatorname{tr}(Z)$ 表示 $Z$ 的迹。对于二阶实方阵 $A=\begin{pmatrix}10&1\\-4&5\end{pmatrix}$ ，通过

f(X)=AX-XA

定义线性映射 $f:V\to V$ 。回答下列问题。

(1) 证明 $f(W)\subset W$ 。

(2) 将 $f$ 在 $W$ 上的限制记为 $g:W\to W$ 。求 $g$ 关于 $W$ 的基

e_1=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\quad e_2=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\quad e_3=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}

的表示矩阵 $R$ 。

(3) 求第 (2) 问中矩阵 $R$ 的全部特征值。

任意の $Z\in W$ について、トレースの巡回性から

\operatorname{tr}(f(Z))=\operatorname{tr}(AZ)-\operatorname{tr}(ZA)=0.

したがって $f(Z)\in W$ 、すなわち $f(W)\subset W$ である。

直接計算すると

\begin{aligned} g(e_1)&=\begin{pmatrix}0&-2\\-8&0\end{pmatrix}=-2e_2-8e_3,\\ g(e_2)&=\begin{pmatrix}4&5\\0&-4\end{pmatrix}=4e_1+5e_2,\\ g(e_3)&=\begin{pmatrix}1&0\\-5&-1\end{pmatrix}=e_1-5e_3. \end{aligned}

よって表現行列は

R=\begin{pmatrix}0&4&1\\-2&5&0\\-8&0&-5\end{pmatrix}.

\det(tI-R)=\det\begin{pmatrix}t&-4&-1\\2&t-5&0\\8&0&t+5\end{pmatrix} =t(t^2-9).

したがって固有値は $0,3,-3$ である。